数列の問題で・・・

質問

こんにちは。ある課題の問題で、どう手をつけていいのかわかりません。

Σ(n-k)coskθ　　cosk=cosのk乗　　Σはk=1でn-1まで

私は数学が苦手で、なんとも手が付けられません。一応、高校の数学の参考書とにらっめこしましたが、さっぱりです。ぜひ僕にご教授を m(__)m　解き方のヒントでもいいです。結構困っています。

回答No.1

adinat · ベストアンサー

F(θ)=Σ(n-k)cos^kθとおきます。これをcosθ倍して
cosθF(θ)=Σ(n-k)cos^(k+1)θ
となります。この式でΣをk=1からn-1まで動かす代わりに
k=2からnまで動かすと考えれば、
cosθF(θ)=Σ(n-k+1)cos^kθ
となることがわかります。そこで
cosθF(θ)-F(θ)=cos^nθ+cos^(n-1)θ+…+cos^2θ-(n-1)cosθ
がわかります。この右辺をよくみると等比数列の形をしているから、
(右辺)=cos^2θ(1-cos^(n-1)θ)/(1-cosθ)-(n-1)cosθ
となります。これを(cosθ-1)で割れば求める答えです。
とても綺麗とはいえませんが、整理すれば
{-(n-1)cosθ+ncos^2θ+cos^{n+1}θ}/(1-cosθ)^2
になると思います。一応確認されてください。

なおこの手の数列の和の問題は次のように考えるのが基本です。
F=Σ(kの一次式)a^k
とおいて、Fのk倍を考えます。
そうするとkF-Fでは一次式の階差が定数[まあようするに微分のようなものです]
になって、階差はただの等比数列というわけです。
一般にΣ(kのn次式)a^kの形の数列の和は
第n階差までとれば等比数列になることがわかります。

なおθ=0,±2π,…のときは別に計算(0ですが)してください。

お礼

ありがとうございます。とても参考になりました。これで、何とかなります。m(__)m