数列の問題

質問

０＜α＜１
２のn-1乗の整数部分をa(n)，小数部分をb(n)
とすると，
nが奇数のとき０≦b(n)＜1/2
nが偶数のとき2/1＜b(n)＜１
〔b(n)というのは，数列{b(n)}の第n項という意味で使われているものです。〕
であるという。このときαの値を求めよ。
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何の気なしに図書館にあった新数学演習を読んでいたらでてきたのですが，解説の意味が分からず，気になっています。
その解説とは，序盤において
＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿
０≦b(2k-1)＜2/1，2/1＜b(2k)＜１
よって
b(2k)＝２b(2k-1)，b(2k+1)＝2b(2k)-1

という箇所です。
どうしてこの２式が出てくるのか，教えてください。

回答No.5

age_momo · ベストアンサー

書き方は違うかもしれませんが、たぶん問題は
(あくまで書き込みからの推定ですが)

数列Q[n]があり、次の条件を満たしている。
Q[1]=α　　(ただし0 < α < 1)
Q[n+1]=2Q[n]
ここでQ[n]の整数部分をA[n],小数部分をB[n]とすると

nが奇数のとき0 ≦ B[n] < 1/2
nが偶数のとき1/2 < B[n] < 1

この時、αを求めよ。

条件からQ[n]の一般項は
Q[n]=α*2^(n-1)
条件から
0 ≦ B[2k-1] < 1/2
1/2 < B[2k] < 1
0 ≦ B[2k+1] < 1/2

B[2k-1] < 1/2より2B[2k-1] < 1
よって
b[2k]=2B[2k-1]　　　・・・・・(1)
一方、1/2 < B[2k]より　1 < 2B[2k]
B[n]は実数の小数部分であるからB[n] < 1
B[2k+1]=2B[2k]-1　　・・・・・(2)
(2)に(1)を代入して
B[2k+1]=4B[2k-1]-1
B[2k+1]-1/3=4{B[2k-1]-1/3}
B[2k-1]=4^(k-1) *{B[1]-1/3}+1/3
任意の自然数kに対してB[2k-1] < 1　なので　{B[1]-1/3}=0
B[1]=B[2k-1]=1/3
∴α=1/3

と言うことなのだと思います。そして質問の部分は例えば具体的な
数字で書くと

nが奇数のとき0 ≦ B[n] < 1/2
1/2より小さい数字なら2倍しても1を超えないので小数部分は
そのまま2倍になっている。0.3なら2倍した数字の小数部分は0.3*2=0.6
一方、
nが偶数のとき1/2 < B[n] < 1
1/2より大きいので2倍すると1を超える。例えば0.7なら2倍して1.4
B[n]は小数部分なので1を超えた分は引く必要がある。小数部分0.7*2-1=0.4
ということを一般式で書いてあるのだと思います。

回答No.4

looker1986

>２のn-1乗＝αの整数部分をa(n)，小数部分をb(n)
どの値の整数部分と小数部分ですか？

２の２乗は４
２の３乗は８
２の４乗は１６です
ですから、２の(n-1)乗は全て整数になり、小数部分は常に0です。

２の(n-1)乗根かな？とも思いましたが、問題には不適のようです。

どの値についての整数部分と小数部分についてなのかを補足してください。あと、nは n≧1 でいいのですよね？

もしかして、(2^(n-1))×α ですか？
2^(n-1)は２の(n-1)乗という意味です。

回答No.3

arrysthmia

No.2 への補足を拝見しましたが、それでは増々意味をなしません。

ひょっとして、
　αのn-1乗の整数部分をa(n)，小数部分をb(n)
　とすると、
　nが奇数のとき 0≦b(n)＜1/2
　nが偶数のとき 1/2＜b(n)＜１
　であるという。このときαの値を求めよ。
ではないでしょうか？

解説より先に、問題文を読解することが必要だと思います。

回答No.2

looker1986

問題中でαが使われてないし、２のn-1乗は常に整数だし、2/1という表記が間違っていると思われ、問題については意味不明ですが、

2/1というのが2分の1(普通は1/2と表記)を表わしていると「好意的に」解釈すると、

0≦b(2k-1)＜1/2なので、2倍しても1を越えないことと、
1/2＜b(2k)＜1なので、2倍すると1.…となることが関係してるんでは？

式で書くと、
0≦b(2k-1)＜1/2 より、 0≦2b(2k-1)＜1
1/2≦b(2k)＜1 より、1＜2b(2k)＜2 だから、0＜2b(2k)-1＜1
この辺りを踏まえて考えてみてください。

意味不明でしたら、問題文をきちんと書いて補足願います。

補足

すいません
２のn-1乗＝αの整数部分をa(n)，小数部分をb(n)

回答No.1

take_5

＞このときαの値を求めよ。

αってなぁに？　どこにも、αってないよ。あるのは、“０＜α＜１”のみ。。。。。。笑