数列の問題でわからないことが・・・

質問

200以上５００以下の自然数の中で７で割ると５余り
１３で割ると１１あまるものは何個あるか？（黄色チャートの問題です）

という問題について質問です。解答では
「７で割ると５あまる数は７（K－１）+５＝７K－２

１３で割ると１１あまる数は
１３（Lー１）+１１＝１３Lー２

よって７K－２＝１３Lー２（K,Lは自然数）
を満たす。よって７K＝１３L
７と１３は互いに素であるからKは１３の倍数である。
ゆえにK＝１３ｎ（ｎは自然数）とあらわされて
題意の数は７×１３ｎ－２すなわち９１ｎ－２
条件を満たす自然数は初項８９公差９１の等差数列の各項となっている。
２００以上５００以下の自然数のなかでは、３，４，５
が該当し、答えは３個である」

とあったのですが、前半部分がわかりません。
「７で割ると５あまる数は７（K－１）+５＝７K－２
１３で割ると１１あまる数は
１３（Lー１）+１１＝１３Lー２」
とあらわしていますが、７で割ると５あまる数は７K+５
１３で割ると１１あまる数は１３L+１１
ではないんでしょうか？なぜ７（K－１）+５＝７K－２
、１３（Lー１）+１１＝１３Lー２とあらわしているのでしょうか？
どこからの７（K－１）+５、１３（Lー１）+１１はきたのでしょか？

もしかして、その後の計算で
７K－２＝１３Lー２（K,Lは自然数）
とあらわすことによって、共通のマイナス２が消去できて
「７K＝１３L
７と１３は互いに素であるからKは１３の倍数である。
ゆえにK＝１３ｎ（ｎは自然数）」と表すために、
両方に共通の数字がでるような式に変形したのでしょうか？

回答No.3

alice_44 · ベストアンサー

7 で割ると 5 あまる数は、
7X+5 と書いても、7(Y-1)+5 と書いても、7(Z-2)+5 と書いてもよいです。
X が整数であることと、Y が整数であることと、Z が整数であることは同値です。
X = N で置き換えれば 7N+5 となるし、Y = N で置き換えれば 7N-2 となります。
変数名のつけ方の違いに過ぎません。

7 で割ると 5 あまり、13 で割ると 11 あまる全ての数は、
そのような数のひとつを M として、M + (7 と 13 の最小公倍数)×(任意の整数)
と表されます。これは有名な定理なので、知っていてもよいかと思います。
質問の解答例は、要するに、M = -2 という解があることに気づいちゃったよ
…と言っているのです。なぜ気づいたのかについては、書いてありません。
よく気づいたね、おめでとう…とでも言ってあげるしかないでしょう。
K-1 や L-1 に、何か特別な技法が隠されている訳ではないのです。
貴方も、山勘で M = -2 が発見できるといいですね。

山勘が発達していない場合は、
7 で割ると 5 あまる数が 5, 12, 19, 26, 33, 40, 47, 54, 61, 68, 75, 82, 89, …
13 で割ると 11 あまる数が 11, 24, 37, 50, 63, 76, 89, …
と探していって、共通の数 M = 89 を見つけるとよいでしょう。

お礼

ありがとうございます。

教えていただいた別解のほうでも
といてみたいと思います。

回答No.5

alice_44

←A No.4

-2 が +1 になっただけかな。

なぜ 7(m+1)-13(n+1)=0 とあらわしているのでしょうか？
どこからの 7(m+1)、13(n+1) はきたのでしょか？

お礼

私も、回答をしていただいた文を読んだとき、
そこの部分が分からなかったのですが、
まあいいか、と飛ばしていました。。。。

どこからきたのでしょうね？
NO4さんにもう一度質問してみますね。

回答No.4

mister_moonlight

そんな解答なら、数列なんて言わずに、最初から不定方程式の問題として解決すると良い。

求める自然数をＮとすると、Ｎ＝7m+5＝13n+11　と表せる。但し、mとnは非負の整数。
7m+5＝13n+11　より　7(m+1)-13(n+1)＝0　だから、7(m+1)＝13(n+1)
7と13は互いに素から、kを整数として、m＝13k-1、n＝7k-1　になるから、Ｎ＝7m+5＝13n+11＝91k-2.
条件から、200≦91k-2≦500　kは整数から　3≦k≦5　より求める個数は　3個。
実際に、k＝5、4、3　とすると　Ｎ＝453、362、271.

お礼

ありがとうございます。こんな解答もあるのですね。
参考になります。

補足

質問なのですが、7m+5＝13n+11　より　7(m+1)-13(n+1)＝0　
という部分がわかりません。
7(m+1)-13(n+1)=0 は
どこからきたのですか？

回答No.2

puusannya

7で割ると5余る数は、１２、１９，２６・・・ではなく
５，１２，１９・・・なのです。

お礼

ありがとうございます。そういうことだったんですね。おかげですっきりいたしました。

回答No.1

spring135

K,Lは自然数に採っているのでK=1,2,3,,,,,L=1,2,3,,,
となり、
７で割ると５あまる数の最初の数5を含めるためには７（K－１）+５
とする必要があります。
１３で割ると１１あまる数も同様に11を含めるために１３（Lー１）+１１
としています。

お礼

なるほど！！！そういうことですね。納得しました。ありがとうございます。