指数方程式の解法

質問

0.625=(exp(λ1t)-1)/(exp(λ2t)-1)
λ1,λ2:定数
tを解きたいのですが、et＝Ａと置き換え解こうとしたのですが、途中でつまづきました。
指数方程式はどう解けばいいでしょうか。

回答No.3

noname#101087 · ベストアンサー

> 0.625=(exp(λ1t)-1)/(exp(λ2t)-1) 　λ1,λ2:定数
>tを解きたいのですが、et＝Ａと置き換え解こうとしたのですが、途中でつまづきました。

…ということは、
　　0.625 = {(A^λ1) - 1}/{(A^λ2) - 1}
ですかね。

A = 1 だと不定形になるので除外。
　　f(A) = (A^λ1) - 0.625*(A^λ2) - 0.375
の A = 1 以外の零点 (A > 0) を求める問題。

f(A) の微分は、
　　f'(A) = λ1*A^(λ1 - 1) - 0.625*λ2*A^(λ2 - 1)
　　　　　= {λ1 - 0.625*λ2*A^(λ2 -λ1)}*A^(λ1 - 1)
これは、λ2 -λ1 > 0 ならば負になる。
λ1≠1 でなければ、
　　Ao^(λ2 -λ1) = 0.625*λ2/λ1　　: Ao = {0.625*λ2/λ1}^(λ1 -λ2)
なる Ao にてゼロ。
その先で f(A) がゼロになる。

…これから f(A) 近似零点 Aa を推測すれば、
　　Aa = 1 + 2*(Ao -1)
これからスタートして f(A) の零点へ逐次接近するのが良さそうです。

お礼

ありがとうございました。なんとか解けそうです。

回答No.4

warumx

式の形から解析的には多分解けないと思います。
No2さんも言われているように数値的に解くしかないでしょう。
λ1とλ2は実際にはどんな値ですか？
Excel Solverで解けるかもしれません。

お礼

ありがとうございました。数値的に解いてみます。回答の糸口がわかり感謝しています。
ExcelSolver　研究してみます。

回答No.2

Tacosan

一般的には数値的に解く.

お礼

ありがとうございます。近似解しかでないということがわかりました。

回答No.1

haragyatei

エンジニア的に考えれば t を非常に小さい刻みで変えて0.625になるところを見つければよいと思います。特にこのときｔの関数とする左辺の変化がわかればどういう時に解があるかがわかると思います。数学に固守する必要もないと思いますが。

お礼

ありがとうございます。一般解をだすのが無理だということが解りました。