指数方程式

質問

高校数学IIの指数方程式に関する質問です

公式集中に、指数方程式、指数不等式に関する公式として

(1)a^x=t またはa^x＋a^(-x)=tとおいてｔについての方程式に帰着させる。
(2)ｔについての方程式を解く。
(3)I：t=a^x　のときはｔ>0
II：t=a^x＋a^(-x) のときはｔ≧２
　　　に着目してｘにもどす。

ここで
I：t=a^x　のときはｔ>0
II：t=a^x＋a^(-x) のときはｔ≧２
の使い方の場合分けがよくわかりません。

この公式の例題として
「方程式３｛9^x＋9^(-x)}-7{3^x-3(-x)}-4=0 の解を求めよ。」

という問題で、解答を確認すると、

3^x＋3^(-x)=t とおくと　
　9^x＋9^(-x)={3^x＋3^(-x)}^2-4=t^2-2
よって、もとの方程式は3(t^2-2)-7t-4=0とおける。
　3t^2-7t-10=(3t-10)(t+1)=0
t≧2だから　t=10/3 ∴3^x＋3^(-x)=10/3
3(3^x)^2-10*3^x＋3=(3*3^x-1)(3^x-3)=0
3^x=3^(-1)と3^x=3からx=±1

以上が解説ですが、上記場合は3^x=tとおいて問題を解くことはできないのでしょうか。{3^x＋3^(-x)=t と置かないと解答できない問題なのでしょうか？}

変な質問ですいません。3^x＋3^(-x)=tとおかないと解答できないという確認がしたいと思って質問します。単なる自己満足のための質問かもしれませんが、ご意見がありましたらよろしくお願いします。

回答No.1

hinebot · ベストアンサー

例題の場合、問題の方程式の中に -x乗が含まれてますよね。
a^(-x) = 1/(a^x)
です。
例題で、3^x=tとおいたとすると
（3^x の次は＋ですよね？）

3{t^2+1/(t^2)}-7{t+(1/t)}-4 =0

と分数式になります。
でこの分母を払うと　４次方程式になってしまいます。
ま、このまま解いて解けないことはないかも知れませんが、
3^x＋3^(-x)=tとして、２次方程式に帰着する方が楽ですよね？
そういう訳だと思います。

お礼

回答ありがとうございます。
＞でこの分母を払うと　４次方程式になってしまいます。
＞3^x＋3^(-x)=tとして、２次方程式に帰着する方が楽ですよね？

確かにおしゃるとおりです。
確認できて納得できました。

補足

回答ありがとうございます。

回答者様ご指摘の、質問中の
＞この公式の例題として
＞「方程式３｛9^x＋9^(-x)}-7{3^x-3(-x)}-4=0 の解を求めよ。」
は３｛9^x＋9^(-x)}-7{3^x＋3(-x)}-4=0 の解を求めよ
の誤りでした。この場をお借りして訂正いたします。

回答No.3

take_5

3^x=tとおくと、3（t＾2＋1/t＾2）-7（t＋1/t）-4＝0となり分母を払うと、3t＾-7t＾3-4t＾2t-7t＋3＝0となります。
形から、これは相反方程式ですから、t＾2で割ることになり元に戻ります。
t＋1/t＝mとすれば、3m＾2-7m-10＝（3m-10）*（m＋1）＝0。
よって‥‥‥となり、結局ここで3^x＋3^(-x)＝mと置き換え解くになりますね。

それなら、はじめから素直にやった方がベターのように思いますが。。。。

お礼

回答ありがとうございます。
＞形から、これは相反方程式ですから

相反方程式というのですか。なんとなく＜相加平均、相乗平均＞を利用するときの形ににていますね。

回答No.2

koko_u_

>上記場合は3^x=tとおいて問題を解くことはできないのでしょうか。
実際にやればどんな感じかわかるだろう。
まずは計算してみてから再度質問して欲しい。

お礼

回答ありがとうございます。
質問者様ご指摘のとおりです。
No1の方と同じく、４次方程式になることまでは計算できたのですが、（４次方程式！？）不思議に思うとともに、他の参考書でも類似問題をさがしましたが、適当な問題が見つから無かったために、質問いたしました。おしゃるとおり、もう少し他を探す努力が必要ですね。
例えば、他の問題集には
「a^(2x)=3, a>0のとき、a^x＋a^(-x), {a^(3x)＋a^(-3x)}/{a^x＋a^(-x)}の値を求めよ。」
という問題があり、この場合はa^x=t とおいて計算を進めています。今回の質問と同じようにa^x＋a^(-x),という形が表示されているわけですが、このときはa^x＋a^(-x)＝tではなくa^x=t　として計算をすすめてありました。どういう方針を立てると＝ｔと置き換える計算式がピンとくるのかわからなかったので今回質問してみました。
なお、上記問題はa^x=tと置くことによって、t=√（３）という値が規定できるので、それを問題式に代入することによって計算式の値が計算できるという問題でした。