方程式

質問

方程式(x＾4)ー(ｘ＾3)+(x＾2)-x+1=0を解く問題で
両辺をx＾2で割って
x+(1/x)=tとおくと
t=｛1±√5｝/2
(x＾2)-tx+1=0より
ｘ＝｛t±√(t-3)｝/2
から
ｘ=(｛1+√5｝/4)±(√(10-(2√5))i/4、
(｛1ー√5｝/4)±(√(10+(2√5))i/4

になることが分かりません

回答No.3

lick6 · ベストアンサー

lick6です。
すみません。
説明が雑でしたね。
まずAの部分ですが、4行前で
　∴ x = {t ± √(t^2 - 4)}/2
と出していますね。
t と t^2 も求めているのでそれらを代入しました。
そのときに 1/4 がでてきてしまうのでみやすくするために両辺に 4 を掛けて 4x としました。
うちわけは x = 1/2 * {t ± √(t^2 - 4)} の 1/2 と
t を代入したときの t = 1/2 * {1 ± √5} の 1/2 合わせて 1/4
両辺を 4倍 した際に上に説明した　x = 1/2 * {} の 1/2 を打ち消して残り *2 が残り、ルートの中身は 4倍 されますね？
t^2 = (3 ± √5)/2 ですから
√{4 * (t^2 - 4)} = √{(6 ± 2√5) - 16} です。さらに
　　　　　　　　　 = √(-10 ± 2√5)
　　　　　　　　　 = √{(-1) * (10 干 2√5)}
　　　　　　　　　 = √(10 干 2√5) * i
ということです。

お礼

親切にどうもありがとうございました。
やっとのこと理解することができました。

回答No.2

lick6

x^4 - x^3 + x^2 - x + 1 = 0 ----(1)

　x = 0 を(1)に代入しても成り立たないので x = 0 は(1)の解ではない
　よって(1)の両辺を x^2 で割ると
　　x^2 - x + 1 - 1/x + 1/x^2 = 0
　　(x^2 + 1/x^2) - (x + 1/x) + 1 = 0
　ここで t = x + 1/x -----------(2)　とおくと
　　x^2 + 1/x^2 = (x + 1/x)^2 - 2
　　　　　　　　= t^2 - 2
　これらを(1)に代入して
　　t^2 - t - 1 = 0
　　∴ t = (1 ± √5)/2

　(2)より
　　x^2 - tx + 1 = 0 -----------(3)
　　∴ x = {t ± √(t^2 - 4)}/2

　　ところで
　　　t^2 = (3 ± √5)/2　であるから
　　　4x = (1 ± √5) ± √(6 ± 2√5 - 16)
　　　∴ x = {(1 ± √5) ± √(10 干 2√5)i}/4　(複合同順)//
こんな感じでしょうか。

補足

4x = (1 ± √5) ± √(6 ± 2√5 - 16)…Ａ
　　　∴ x = {(1 ± √5) ± √(10 干 2√5)i}/4…Ｂ

について教えてください。
…Ａの
4xと√(6 ± 2√5 - 16)がどのように出たのか分かりません。

…Ｂの
√(10 干 2√5)iの符号がマイナスプラスになっているのが分かりません。
そしてどうしてiがつくのですか？
iは2乗するとー１になるんですよね？

回答No.1

inara

x^4-x^3+x^2-x+1=0の両辺をx^2で割って整理すると
(x^2+1+1/x^2)-(x+1/x)=0→(x+1/x)^2-(x+1/x)-1=0
ですから、t=x+1/xとおくと上式は
t^2-t-1=0→t=(1±√5)/2 ---(1)
ここまでは同じです。
一方、t=x+1/x→x^2-t*x+1=0→x=(t±√(t^2-4))/2 --- (2)
ここが質問者（x＝｛t±√(t-3)｝/2）と違っています。
あとは(1)を(2)に代入すれば答えが出るはずです。