方程式

質問

座標平面上の曲線√x ＋√y =2を原点の周りに(π/4)回転したときの方程式を求める問題で
数学Cの範囲だと思って勉強したのですがこの問題はどのように解くのか分からないので教えてください。

〇　π/4回転させると、一次変換を使って((s+t)/√2,(-s+t)/√2)にどうしてなるのでしょうか？

〇また、もとの曲線の方程式は
√x=2-√y
の両辺を平方して
x=4-4√y+y
根号のついた部分を移項して
4√y=4+y-x
平方して
16y=x2-2xy+y2-8x+8y+16
整理して
x2-2xy+y2-8x-8y+16=0
からどのように求めるのでしょうか？

よろしくおねがしいます

回答No.3

info22

＃１です。
＞s=(x-y)/√2 , t=(x+y)/√2について教えてください

＞＞x+i y=r e^(iθ) → r e^{i(θ+π/4)}=s+i t
＞＞からオイラーの公式　e^(iA)=cosA + i sinA を使えば
s=(x-y)/√2 , t=(x+y)/√2
↑
チャンとご自分でやってみましたか？

x+i y=r e^(iθ) = r*cosθ＋i r*sinθ
x = r*cosθ, y = r*sinθ

s+i t = r e^{i(θ+π/4)}=r e^(iθ) e^(iπ/4)
= r (cosθ＋i sinθ)*{cos(π/4)＋i sin(π/4)}
= r (cosθ＋i sinθ)*{(1/√2)＋i (1/√2)}
= r (cosθ＋i sinθ)*(1＋i)/(√2)
= {(r cosθ－r sinθ)＋i(r cosθ＋r sinθ)}/(√2)
= {(x－y)＋i(x＋y)}/(√2)

∴ s = (x－y)/(√2), t = (x＋y)/(√2)　

【注】点P(x,y)：x+i y＝r e^(iθ)を反時計回りにπ/4[rad]回転するには
e^(iπ/4)をかけてやります。横軸：実軸、縦軸：虚軸に対応させた単位円で考えるとわかると思います。
回転した結果点P(x,y)はP'(s,t)：s+i t＝r e^{i(θ+π/4)}に移るということですね。
この結果y=f(x)はt=g(s)に移るわけです。
改めて、s,tを一般座標変数x,yで置き換えてy=g(x)と書けば、これがπ/4[rad]だげ反時計回りに回転後のグラフの式になります。

y = g(x) = (√2)+(x^2)/(4√2)
ただし、|x|≦4/√2

回答No.2

kkkk2222

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√x +√y =2
４≧x≧0, ４≧y ≧0

√(x/4) +√(y/4) =1
(((x/4)^(1/4))^2)+(((y/4)^(1/4))^2)=1

((x/4)^(1/4))=cosθ
((y/4)^(1/4))=sinθ

(x/4)=((cosθ)^4)
(y/4)=((sinθ)^4)

x=4((cosθ)^4)
y=4((sinθ)^4)

X　cos(π/4) -sin(π/4)　x
Y　sin(π/4)　cos((π/4)　y

x　cos(π/4)　sin(π/4)　　X
y　-sin(π/4)　cos((π/4)　Y

x=(1/√2)X+(1/√2)Y=4((cosθ)^4
　　　(1/√2)X+(1/√2)Y≧０
　　　４√2≧Ｘ＋Ｙ≧０
y=(-1/√2)X+(1/√2)Y=4((sinθ)^4)
　　　(-1/√2)X+(1/√2)Y≧０
４√2≧ーX+Y≧０

(4/(2√2))X=4((cosθ)^4)-4((sinθ)^4)
(1/(2√2))X=((cosθ)^4)-((sinθ)^4)
(1/(2√2))X=cos(2θ)
　　　　ー１≦(1/(2√2))X≦１
　　　　ー(2√2)≦X≦(2√2)
(4/(2√2))Y=4((cosθ)^4)+4((sinθ)^4)
(1/(2√2))Y=((cosθ)^4)+((sinθ)^4)
(1/(2√2))Y=1-(2((cosθsinθ)^2))
(1/√2)Y=2-(4((cosθsinθ)^2))
(1/√2)Y=2-((sin(2θ))^2)
(1/√2)Y=2-1+((cos(2θ))^2)
(1/√2)Y=1+((cos(2θ))^2)

(1/√2)Y=1+(((1/(2√2))X)^2)
(1/√2)Y=1+((X^2)/8)

Y=(√2)+(√2/8)(X^2)
４√2≧Ｘ＋Ｙ≧０
４√2≧ーX+Y≧０
ー(2√2)≦X≦(2√2)・・・此れはθから出た条件なので、これだけでは、ダメなはずです。
結果的には、
［ー(2√2)≦X≦(2√2)］
途中計算、多少省略してあるので、追試して下さい。
ーーー
＞＞一次変換を使って((s+t)/√2
（一次変換）＝（回転行列）。
s、t　は　上記の　Ｘ、Ｙ。

＞＞x2-2xy+y2-8x-8y+16=0
上記の（回転行列）で、綺麗に出るはずです。
Ｘ＝、Ｙ＝では代入できないので、
x＝、y＝で。
ちょっと、気に成るのは、上手く　Ｘの範囲がでるか。

お礼

参考書の解説に
原点の周りの各θの回転をR（θ)と表した時

√x＋√y＝２以上の点Ｐ(x,y)をπ/4回転した点を(X,Y)とする
と書いてあって
↑の意味は√x＋√y＝２の曲線を45度回転したということですか？

(x,y)=R(θ)(x,y)の意味がよくわかりません。
これは行列ですか？

θをπ/2にすると
ｘ＝（Ｘ＋Y)/√2になるのですか？

補足

４≧x≧0, ４≧y ≧0 の範囲の求めかたを教えて頂けませんか？
宜しくお願いします

回答No.1

info22

＞〇　π/4回転させると、一次変換を使って((s+t)/√2,(-s+t)/√2)にどうしてなるのでしょうか？

図を描けないので式で求める方法です。
x+i y=r e^(iθ) → r e^{i(θ+π/4)}=s+i t
からオイラーの公式　e^(iA)=cosA + i sinA を使えば
s=(x-y)/√2 , t=(x+y)/√2
が出てきます。
これをx,yについて解けば
x=(s+t)/√2 , y=(t-s)/√2

この式を
＞x2-2xy+y2-8x-8y+16=0
に代入して整理すれば
2(s^2)-8(√2)t+16=0
２で割って
(s^2)-(4√2)t+8=0
ｔについて解けば
t=(s^2)/(4√2)+√2
となります（放物線）。

sが回転後のX軸、tが回転後のY軸と考えれば良いです。
(s,t)の取りうる範囲は,
元の式でx,yが√内にありますので

x=(s+t)/√2≧0 , y=(t-s)/√2≧0

から出てきます。

補足

s=(x-y)/√2 , t=(x+y)/√2について教えてください
よろしくおねがいします