中学受験：約数の問題について

質問

＜問題＞
５０枚のカードがあります。カードには１から９９までの奇数が書かれています。はじめにこのカードをすべて表にして並べておき、まず３の倍数のカードをひっくり返し、次に５の倍数、７の倍数と、奇数の倍数を次々とひっくり返していきました。そしてこの作業を最後の９９の倍数をひっくり返すところまで続けました。
５０枚のカードの中で、もっとも多くひっくり返すカードをあるだけ答えなさい。

＜自分の解答＞
ひっくり返す回数は、そのカードの約数の個数と同じ。
１から９９までの奇数について、約数をすべて書き出して、
45の約数・・・1,3,5,9,15,45
63の約数・・・1,3,7,9,21,63
75の約数・・・1,3,5,15,25,75
99の約数・・・1,3,9,11,33,99
よって答えは、45,63,75,99

よく見る約数の問題なのですが、問題集の解答と自分で導いた答えがあいません。
よろしくお願いします。

回答No.5

f272 · ベストアンサー

> 問題集の解答と自分で導いた答えがあいません。
問題集の答えがおかしいんでしょう。45，63，75，99ですね。

お礼

>問題集の答えがおかしいんでしょう
その問題集はもう第5版にもなるので、誤答が載っていることが信じられず、質問しました。
ちなみに問題集では、こたえは45,75でした。

回答No.7

funoe

あなた、あってると思います。

素因数分解して、p1^n1*p2^n2*p3^n3となる整数の約数が(n1+1)(n2+1)(n3+1)
となることは既知とします。

９９までの奇数のなかで、
約数を8個もつものはありません。（3^7>99だし、3*5*7>99だから）
約数を7個もつものもありません。(3^6>99だから)

これより約数を6個もつものを探します。
ここで、3^5>99に注意すると、
p1*p1*p2と素因数分解されるものに限ります。
3*3*5
3*3*7
3*3*11
3*3*13・・・99超過のためNG
5*5*3
5*5*7・・・99超過のためNG
7*7*3・・・99超過のためNG
11*11*n　・・・99超過のためNG
以上より、
3*3*5=45
3*3*7=63
3*3*11=99
5*5*3=75 の４つが答えになります。

お礼

答えが5個以上ない理由がよくわかりました。

回答No.6

yoshi170

私もやってみましたが、質問者さんと同じ答えになりました。

解答はどうなっているのでしょうか。
また、問題文に不足などないでしょうか。

お礼

問題文は自分で編集しましたが、不足はないと思います。

＜もとの問題＞
５０枚のカードがあります。このカードの表には黒字で１から９９までの奇数を、裏には赤字で表と同じ奇数を書いてあります。はじめにこのカードをすべて表にして並べておき、まず３の倍数のカードをひっくり返し、次に５の倍数、７の倍数と、奇数の倍数を次々とひっくり返していきました。そしてこの作業を最後の９９の倍数をひっくり返すところまで続けました。
５０枚のカードの中で、最も多くひっくり返すカードを、あるだけ答えなさい。
＜解答＞
45,75
＜解説＞
ひっくり返す回数は、カードの数の１以外の約数の個数回あることがわかる。
3*3*5=45,5*5*3=75だから、ひっくり返る回数は3*2-1=5（回）が最高である。

回答No.4

noname#108210

考え方はいいと思いますよ．
でも，81=3^4 でこれも５個の奇数の約数を持ちますから
これも答えに入ると思いますが・・・．

お礼

81の約数は1,3,9,27,81で5個となり、他のものに比べてひとつ少ないようです。

回答No.3

black2005

”答えは奇数の中にある”と決めつけている時点で誤りですね。

回答No.2

MURAI YASUSHI（@yasudeyasu）

問題
＞奇数の倍数を次々とひっくり返していきました。

回答
＞ひっくり返す回数は、そのカードの約数の個数と同じ。
＞１から９９までの奇数について、約数をすべて書き出して、

奇数の倍数なら偶数のカードもひっくり返すのですよ。
３の倍数なら６とか１２とか。

補足

問題文より、
「５０枚のカードがあります。カードには１から９９までの奇数が書かれています」
もともと偶数のカードはありません

回答No.1

publicpen

難しいな。
正直解けないw
小学校の時は解けたと思うけど。