微分の問題

質問

a1,a2,…anがあるとき、
y=Σ(ai-x)^2 (i=1～n)
を最小にするxの値がaであることを微分を用いて示せ。

という問題です。どなたかお願いします。

回答No.2

nag0720 · ベストアンサー

y=Σ(ai-x)^2
　=Σ(ai^2-2aix+x^2)
　=nx^2-2(Σai)x+Σ(ai^2)
これは、下に凸の放物線です。

y'=2nx-2(Σai)=0
から、
x=(Σai)/n
のとき、最小値をとることが分かります。

お礼

すみません。x=(Σai)/nでしたね…。

迅速な解答ありがとうございます。
非常に助かりました。

回答No.1

naniwacchi

「微分を用いて」なので、まずは微分をしましょう。
Σ記号がややこしければ、一度書き下してみるといいでしょう。

y= (a1-x)^2+ (a2-x)^2+ (a3-x)^2+ … + (an-x)^2
これを微分すると、y 'は xの1次式として表されます。
（Σ記号のままで微分を計算しても、結果は同じです）

あとは、増減表を書いてみると、y '= 0で「最小」をとることが示されます。
（このとき、nは正の数であることを利用します。）
同時に、最小を与える xの値も求められます。