数学の積分の問題です

質問

f(x)=2x+∫(0→1)f(x+t)f(t)dt
を満たすf(x)を求めよ
というものなんですが、∫内にf()系が２つあるものの解き方を教えていただきたいです。お願いします。

回答No.4

-somebody-

これはまた難しい問題ですね。

もし与式が
f(x)=2x+∫(0→1)(x+t)f(t)dt
だったなら

f(x)=2x+x∫(0→1)f(t)dt+∫(0→1)tf(t)dt
となって
k=∫(0→1)f(t)dt
l=∫(0→1)tf(t)dt
としてやれば
後はこれを解くだけ
となって
高校の教科書にも載っていますが

f(x)=2x+∫(0→1)f(x+t)f(t)dt
これだけだとちょっとお手上げですね。。

f'(x)=2+f(1)f(x+1)-f(0)f(x)
とはなるはずなので
微分方程式に持っていけるのかもしれませんが
そうすると何らかの初期条件が必要(な気がしますし…そもそもこの微分した式から一般的な関数を得られるのかが微妙なところです。)

一日考えて
数学が得意な人とも相談したのですが
「キレイな」解き方は多分無いと思います。
もしかしたらあるのかもしれないんですけどね。。。orz

キレイな解き方がないとなったら
No.2、No.3の人が回答しておられるように
何らかの形で近似を試みるしかないのだと思います。

回答No.3

info22

#1です。
#2さんの言われる通りです。

>#1さんの回答では f(x)が 2次式とされていますが、3次式でも恒等式は得られると思います。

f(x)は実数係数2次多項式,3次多項式,それ以上のn次多項式でも、
積分の条件式を満たすf(x)は複数存在すると思います。

実際求めると、
ｆ(x)が2次式としても実数係数のf(x)に限定すれば、4通り存在します。
f(x)が3次式だと実数係数のf(x)に限定すれば、これも、4通り存在します。
4次式としてもやはり、複数通りのf(x)が存在するでしょうね。

従って、問題を実数係数の二次式に限定しても4通り存在しますので、
すべての実数係数の2次多項式を求めよ。とするか、2次の係数が正で3以下の2次多項式のf(x)を求めよ。とでもすれば答えが確定します。

いずれのf(x)の係数も綺麗な係数にならないので、数値計算で求めるしかないでしょう。

参考）係数の値は近似値です。
f(x)が2次式の場合のg(x)の係数(a,b,c)
f(x)の係数は１次の項は(b+2)になります。

1)a=28.5859,b=-37.0057,c=8.9742,
2)a=7.8195,b=-17.3542,c=6.0706,
3)a=-3.9735,b=-1.0065,c=1.8277,
4)a=-2.4319,b=-0.63369,c=1.1275

f(x)が3次式の場合のg(x)の係数(a,b,c,d)
f(x)の係数は１次の項は(b+2)になります。

1)a=16.4603,b=-1.9807,c=-20.8336,d=6.9619,
2)a=4.1893,b=-4.9283,c=-6.8421,d=4.0165,
3)a=-23.7237,b=70.6438,c=-57.2925,d=11.0292,
4)a=-136.9259,b=236.2652,c=-121.0319,d=15.9924

回答No.2

naniwacchi

ひとつ確認させてください。
f(x)について、他に条件はないでしょうか？

左辺に 2xという項が表れているので、f(x)は多項式であれば 1次以上の式となることはわかると思います。
ところが、f(x)が 2次以上の多項式（n次式とします）であったとしても
∫[0→1]f(x+t)*f(t)dtも、「xの」n次式となります。

#1さんの回答では f(x)が 2次式とされていますが、3次式でも恒等式は得られると思います。
次数などに対して条件が他にあるのでは？と思った次第です。
（わたしが何か大事なところを見落としているだけかもしれませんが。）

回答No.1

info22

ヒント)　解き方を書いておきますので解いて見てください。

∫(0→1)f(x+t)f(t)dt=
　g(x)=ax^2+bx+c …(A)
とおくと
f(x)=2x+g(x)=ax^2+(b+2)x+c　…(B)
なので
f(x+t)=a(x+t)^2+(b+2)(x+t)+c
f(t)=at^2+(b+2)t+c
を
g(x)=∫(0→1)f(x+t)f(t)dt
に代入して積分して下さい。
その結果が(A)と恒等的に等しいとして
xの各次の係数同士を比較し、a,b,cの連立方程式を立て、解けばよい。
それらのa,b,cを(B)に代入すれば、f(x)が確定します。