協力ゲームの数式が理解できません

質問

こんにちは。
Partha DasguptaのEconomicsという本(Oxford:A Very Short Introduction)を読んでいるのですが、協力ゲームに関する記述の数式が理解できずに困っています。

[概略]
AがBに出資して作った製品をAが販売して毎年発生する利益を両者で分ける、という協力関係があるとする。協力から得られる将来の利益を考えるとき、その利益は不安定、不確定なものと見なければならないため、今年得られる利益より割り引いて考える必要がある。その割引率を正の数rとする。《この場合、現在から見てt年後の(協力から得られる)利益は、(1+r)^t　で割ったものになる。》
[概略終わり]

分からないのは、《》内の数式の、(1+r)^tです。なぜ１を足す必要があるのでしょうか？ ((1+r)^tは (1+r)のt乗の意味です)
文章の前後から、rは 0<r<1であることは間違いないです。
私の考えを数式にすると、たとえば今年の利益がaとすると、t年後の利益は a x (1 - r)^t になりそうな感じがするのですが、なぜそうならないのでしょうか？ たとえば割引率をr = 0.1とすると、本に書いてある数式だと1年後の利益は10/11になります。私が考えた数式だと、9/10で、この方が理にかなっていると思うのですが。。。たぶん私の考えのどこかが間違っていると思うのですが、どこがどう違うのか、よくわかりません。よろしくお願いします。（参考までに、該当部分を当該本から以下に一部引用します。）

Imagine that the opportunity for A and B to do business with each other is expected to arise over and over again (中略). Although the future benefits from cooperation are important to both A and B, they will typically be less important than present benefits. (中略) To formalize this idea, we introduce a positive number r, which measures the rate at which either party discounts the future benefits from cooperation. (中略) The assumption is that, when making calculations in the current year (which is t = 0), each devides his or her benefits in any future year t by a factor (1+r)^t.

回答No.1

katana-kar · ベストアンサー

割引現在価値と言うものです。
割引現在価値＝ｔ年後の利益÷（１＋ｒ）t乗
（公式と思って憶えてください）

式を変形すると
t年後の利益＝割引現在価値×（１＋ｒ）ｔ乗　となり、

要するに
・t年後の利益を、今受け取れるとして、その金額は値切られる
・ただしその現在の価値はt年後までは利息をつけて回すことができる
・t年後に、「現在時点でもらった金額＋利息」が「t年後の利益」と
同じになるレベルまで値切られる
・その計算は、今現在ではその利息分を複利計算して割る

質問者さんの式　t年後の利益＝今年の利益×（１－ｒ）ｔ乗　は
まずt年後の利益がもうすでに今年の利益の相関関数になっているのでおかしい。
数年後の利益が必ずしも今年の利益の影響を受けるとは限らない。
しかも、t年後の利益（将来時点での）が絶対に今年の利益を越えない。（ｒが０～１なので）
もし式上のt年後の利益を　t年後の利益（現在の価値）と読み替えても
これが今年の利益を越えることが出来ない。

また利息をつけることが出来るので
教科書　（今もらった）10/11×（利息）1.1＝（1年後の収入）１
質問者　９/10×1.1＝0.99　（少し損してます）

また「本に書いてある数式だと1年後の利益は10/11に」とありますが、
本に書いてある数式だと1年後の利益（の現在時点での価値）は～～
と理解してください。
あとは文頭でも書きましたが、公式ですので覚えて下さい。

お礼

詳細な説明、ありがとうございました。
よくわかりました。（「1年後の利益（の現在時点での価値）」と考えなければいけないところ、どうも根本的なところで勘違いをしていたようです。）
これでまた読み進められそうです。助かりました。