小６ 図形の問題です。

質問

図のような台形ABCDがある。
A→D→Aの順に点Pは毎秒1cmの速さで辺AD上を動く。
同時に点Qは毎秒1cmの速さで辺BC上をCからBまで動く。
また点Rは辺CDを3等分する点のうちCに近い方の点である。

１)　点Pが点Aを出発してからの三角形PQRの面積と
時間の関係をグラフに表しなさい。

２）　三角形PQRが直角二等辺三角形になるのは何秒後ですか？

この問題の解き方がわからず、1秒後とに動かした図を描いて計算してみました。

もっと簡潔に答える方法があるのでしょうか？

教えてください。

回答No.2

nag0720 · ベストアンサー

スタート時点での面積は、ΔACRの面積だから、
２×６÷２＝６
６秒後の面積は、辺BCの中点をEとすると、ΔDERの面積だから、
４×６÷２＝１２
１２秒後の面積は、ΔABRの面積だから、
台形の面積からΔBCRとΔADRの面積を引いて、
（１２＋６）×６÷２－１２×２÷２－６×４÷２＝３０
グラフはこの三箇所の点を直線で結べばできます。

直角二等辺三角形は、４秒後にΔPRDとΔRQCが合同になるから、PR=RQかつ∠PRQが直角になります。

お礼

ありがとうございます。
お礼が遅くなってごめんなさい。

回答No.4

danke3

＃３です
さっき起きました
念のため、追加しておきます
「ｔ」が時間なら、「秒」と「センチ」を掛けても面積になりませんね
厳密に言うと前回の回答の「ｔ」のところは
「１センチ/秒×ｔ秒」です
あの式の中にこれを書くと長くなるので省略しました

回答No.3

danke3

１）はPとQの動く方向が６秒後までは逆方向で
その後は同方向に動くというのがミソですね
△PDRと△RCQを内包する図形は
スタート時点では直角二等辺三角形から台形に変わり６秒後に
対称形で直角二等辺三角形に戻りますが
その間の面積は１８平方位センチのままです
（線分PQは左側上下３センチの点を軸に回転しているので
面積の増減が等しい）
その時間を「ｔ」とすると
◆０秒から６秒までは
６×６×１/２-４×（６-ｔ）×１/２-２×ｔ×１/２
＝１８－２×６＋２ｔ－ｔ＝１８－１２＋ｔ＝６＋ｔ

◆６秒から１２秒後までは
（３角形を内包する台形の面積も増えていくので計算式が変わります）
{ｔ＋（ｔ－６）}×６×１/２－４×１/２×（ｔ－６）ー２×１/２×ｔ
＝（２ｔ－６）×３－２ｔ＋１２－ｔ
＝６ｔ－１８－３ｔ＋１２
＝３ｔ－６

これで６秒後までは１秒毎に１平方センチずつ増え、
その後から１２秒後までは３平方センチずつ増えるのがわかりますね

２）△PDRと△RCQが合同になれば線分PRとRQは同一の長さになり
C、D部は直角だからその時点で∠PRQは直角になる
△PDRと△RCQが合同になる時は
線分PDが線分RCに等しい、或は線分CQが線分RDに等しい時だから
４秒後
※仕事が片付いたのでネットに切り替えたら、これが目に付きました
風呂に入りながら考えました
これから寝ます
会社員ではないので昼まで寝られますが、そこまで寝たらまだまだ
暑いですけどね

お礼

ありがとうございます。
6年生の宿題なのに難しくていつも困っています。

回答No.1

LOHA

方程式使えば簡単ですが、小学生的にはどうするんでしょうかね…。

例えば１秒で
△CQRは...増える
△DRPは...減る
台形APQBは変わらない
ので、1秒間で変動する面積の値が求められるため、あとは最初の面積にその増減分を加味するだけになるので、一応多少は楽ですね。
6秒前後で場合分けが必要かもしれませんが。

ということで、実は１秒ごとを調べるのが最速だったりするかもしれませんね。所詮１２秒ですので。
しかも書いている途中で直角二等辺三角形が見つかるかもしれませんし。

うーん、やはり方程式が使いたい。
以上なにか参考になれば幸いです。

お礼

ありがとうございます。

中３の息子に聞いても、方程式なしではわからないと言われて^_^;

小学生は方程式が使えないのが難しいです。

書いてみると案外あっさりと直角二等辺三角形は見つかるんです。

ただ、入試のときにこれが出たら、イチイチ書いてたら時間がないなぁっと。。。