エネルギーの期待値と比熱

質問

２つの式に関して質問させていただきます。

まず
<H>=－∂/∂βlogZ(β)
={E1+E2e^(-βΔE)}/{1+e^(-βΔE)｝

までは分かるのですがこの次に
=E1+{ΔE/(1+e^(βΔE))}

と変形するやり方が分かりません。

次に、この前式の比熱を求める計算で
d/dT(H/N)=(ΔE)^2/kT^2*e^(βΔE)/{e^(βΔE)+1}^2

=(ΔE)^2/kT^2{2cosh(ΔE/2kT)}^-2

この計算は２番目の等式への変換と３番目の等式への変換が分からず困っています。

回答No.4

Tacosan · ベストアンサー

まず確認ですが, 1/f(x) を x で微分すると -f'(x)/f(x)^2 になります (より一般には f(x)^α を x で微分すると α f'(x) f(x)^(α-1)). ということで, 1/(1+e^(βΔE)) を β で微分すると
-ΔE e^(βΔE)/[1+e^(βΔE)]^2
です. どこかで勘違いしてる?

お礼

懇切丁寧な回答をしていただきありがとうございました。
おかげで助かりました。

回答No.3

Tacosan

合成関数の微分法から
dH/dT = (dH/dβ)(dβ/dT)
なので, この右辺の微分を素直に実行してください.
ΔE e^(βΔE)/{e^(βΔE)+1}^2 の部分は前の dH/dβ から, 1/kT^2 は後ろの dβ/dT から得られます (厳密にはどちらにも符号「-」がつくので相殺される). もとの H の分子に ΔE がいるので, これで (ΔE)^2/kT^2*e^(βΔE)/{e^(βΔE)+1}^2 全体が得られます.

補足

回答ありがとうございました。ですが、まだお聞きしたいことがあります。

ΔE e^(βΔE)/{e^(βΔE)+1}^2 の部分なのですが、商の微分で求めようとしたのですが

=ΔE（e^(βΔE)+1)/{e^(βΔE+1)}^2

となってうまく計算でないのですが・・・

回答No.2

Tacosan

まず上は一般に
(a+bx)/(1+x) = a + (b-a)x/(1+x)
だから. 右辺を展開して左辺になることを確認してください.
下は多分 dH/dT じゃないかな. そうしないと N が右辺にいない理由がわからん.
で最初の等号は dH/dT = (dH/dβ)(dβ/dT) より. うしろの等号は
e^(βΔE)/{e^(βΔE)+1}^2 = [e^(βΔE/2)/{e^(βΔE)+1}]^2
で, この [] の中の分子, 分母を e^(βΔE/2) で割れば OK.

補足

ありがとうございました。下の式は確かにdH/dTの形になっています。

すいませんが、２つ目の式の左辺から１つ目の右辺への導出方法がそもそもわかっていませんでした。
なぜ(ΔE)^2/kT^2が出てくるのか、e^(βΔE)/{e^(βΔE)+1}^2との積の形へどうやって持っていくのかがわかりません。

何度もすいませんが回答していただけるとありがたいです。

回答No.1

Tacosan

ΔE, N, k, T, β はそれぞれどのように定義されているのですか?

補足

ΔE = E2 - E1
β = 1/(kT)
kはボルツマン定数
Tは温度
Nは物質量です