この計算がわかりません。

質問

U＝(3Nhν)/(e^(hν/kT)－1)とするとき
(dU/dT)=3Nk{(hν/kT)^2・e^(hν/kT)}/{1－e^(hν/kT)^2}
になるようですが、その途中計算を教えてくださいませんか。

回答No.4

spring135 · ベストアンサー

係数が多いだけで単純な関数の微分にすぎません。

係数はまとめればよろしい。

x=hν/kT

A=3Nhν

とおくと

U=A(e^x-1)^(-1)

dx/dT=-hν/kT^2=-x/T

dU/dT=(dU/dx)(dx/dt)=(-x/T)A(-1)(e^x-1)^(-2)e^x

=(Ax/T)e^x/(e^x-1)^2

Ax/T=3Nhν(hν/kT)/T=3Nk{(hν/kT)^2

QED

お礼

どうもありがとうございました！

回答No.3

ferien

＞U＝(3Nhν)/(e^(hν/kT)－1)とするとき
＞(dU/dT)=3Nk{(hν/kT)^2・e^(hν/kT)}/{1－e^(hν/kT)^2}
ｙ＝１／(e^(hν/kT)－1)＝(e^(hν/kT)－1)^(-1)とおく。
合成関数の微分
ｙ＝ｕ^(-1)，ｕ＝e^v－１，ｖ＝hν/kT＝（hν/k）Ｔ^(-1)とおくと、
ｄｙ／ｄｕ＝（－１）・ｕ^(-2)，
ｄｕ／ｄｖ＝ｅ^v，
ｄｖ／ｄＴ＝（－１）・（hν/k）Ｔ^(-2)
ｄｙ／ｄＴ＝（－１）・(e^(hν/kT)－1)^(-2)・e^(hν/kT)・（－１）・（hν/k）Ｔ^(-2)
＝｛e^(hν/kT)／(e^(hν/kT)－1)^2｝・（hν/k）・（１／Ｔ^2）
ｄＵ／ｄＴ＝(3Nhν)・（hν/k）・（１／Ｔ^2）・｛e^(hν/kT)／(e^(hν/kT)－1)^2｝
＝（3Nk）・（hν/k）^2・（1/T^2）・｛e^(hν/kT)／(１－e^(hν/kT))^2｝
＝（3Nk）・（hν/kT）^2・｛e^(hν/kT)／(１－e^(hν/kT))^2｝
よって、
(dU/dT)=3Nk{(hν/kT)^2・e^(hν/kT)}/{1－e^(hν/kT)^2}

になりました。計算を確認してみて下さい。

回答No.2

アウストラロ ピテクス（@ngkdddjkk）

No.1の追加。

3Nhν・(hν/kT^2)=3Nk(hν/kT)^2

回答No.1

178-tall

試しに
　u = 1/{e^(hν/kT)－1}
の微分でも…。

　du/dT = -{e^(hν/kT)－1}'/{e^(hν/kT)－1}^2
　{e^(hν/kT)－1}' = {e^(hν/kT)}(hν/kT)' = -(hν/kT^2)e^(hν/kT)
という手順で、
　　du/dT = -(hν/kT^2)e^(hν/kT)/{e^(hν/kT)－1}^2

…あれ？あわないね。