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この計算がわかりません。

U=(3Nhν)/(e^(hν/kT)-1)とするとき (dU/dT)=3Nk{(hν/kT)^2・e^(hν/kT)}/{1-e^(hν/kT)^2} になるようですが、その途中計算を教えてくださいませんか。

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  • spring135
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回答No.4

係数が多いだけで単純な関数の微分にすぎません。 係数はまとめればよろしい。 x=hν/kT A=3Nhν とおくと U=A(e^x-1)^(-1) dx/dT=-hν/kT^2=-x/T dU/dT=(dU/dx)(dx/dt)=(-x/T)A(-1)(e^x-1)^(-2)e^x =(Ax/T)e^x/(e^x-1)^2 Ax/T=3Nhν(hν/kT)/T=3Nk{(hν/kT)^2 QED

happy_lucky3368
質問者

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どうもありがとうございました!

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その他の回答 (3)

  • ferien
  • ベストアンサー率64% (697/1085)
回答No.3

>U=(3Nhν)/(e^(hν/kT)-1)とするとき >(dU/dT)=3Nk{(hν/kT)^2・e^(hν/kT)}/{1-e^(hν/kT)^2} y=1/(e^(hν/kT)-1)=(e^(hν/kT)-1)^(-1)とおく。 合成関数の微分 y=u^(-1),u=e^v-1,v=hν/kT=(hν/k)T^(-1)とおくと、 dy/du=(-1)・u^(-2), du/dv=e^v, dv/dT=(-1)・(hν/k)T^(-2) dy/dT=(-1)・(e^(hν/kT)-1)^(-2)・e^(hν/kT)・(-1)・(hν/k)T^(-2) ={e^(hν/kT)/(e^(hν/kT)-1)^2}・(hν/k)・(1/T^2) dU/dT=(3Nhν)・(hν/k)・(1/T^2)・{e^(hν/kT)/(e^(hν/kT)-1)^2} =(3Nk)・(hν/k)^2・(1/T^2)・{e^(hν/kT)/(1-e^(hν/kT))^2} =(3Nk)・(hν/kT)^2・{e^(hν/kT)/(1-e^(hν/kT))^2} よって、 (dU/dT)=3Nk{(hν/kT)^2・e^(hν/kT)}/{1-e^(hν/kT)^2} になりました。計算を確認してみて下さい。

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回答No.2

No.1の追加。 3Nhν・(hν/kT^2)=3Nk(hν/kT)^2

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  • 178-tall
  • ベストアンサー率43% (762/1732)
回答No.1

試しに  u = 1/{e^(hν/kT)-1} の微分でも…。  du/dT = -{e^(hν/kT)-1}'/{e^(hν/kT)-1}^2  {e^(hν/kT)-1}' = {e^(hν/kT)}(hν/kT)' = -(hν/kT^2)e^(hν/kT) という手順で、   du/dT = -(hν/kT^2)e^(hν/kT)/{e^(hν/kT)-1}^2 …あれ?あわないね。    

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