期待値とシグマの計算手順がわかりません

質問

期待値Eを用いた式変形でΣが絡んできた時の計算方法がわかりません。

以下の画像のような式変形が教科書に載っていたのですが、少し飛躍を感じてしまいました。

どなたか丁寧に解説していただけないでしょうか。
よろしくお願いします。

回答No.1

jcpmutura · ベストアンサー

n=2
の時
左辺は
E{Σ_{i=1～n}(X_i-P)}^2
=E{(X_1-P)+(X_2-P)}^2
=E{(X_1-P)^2+(X_2-P)^2+2(X_1-P)(X_2-P)}

右辺は
(1/n^2)E{Σ_{i=1～n}(X_i-P)^2+Σ_{i≠j}(X_i-P)(X_j-P)}]
=(1/4)E{(X_1-P)^2+(X_2-P)^2+(X_1-P)(X_2-P)+(X_2-P)(X_1-P)}
=(1/4)E{(X_1-P)^2+(X_2-P)^2+2(X_1-P)(X_2-P)}

なので,その等式は成り立ちません。間違っています。
E{Σ_{i=1～n}(X_i-p)}^2≠(1/n^2)E{Σ_{i=1～n}(X_i-p)^2+Σ_{i≠j}(X_i-p)(X_j-p)}

お礼

とてもわかりやすく丁寧な解説を有難うございました！！
すっきり理解できました。

補足

すみません。左辺に「1/n」が抜けていました。
正しくは
E{1/n × Σ(X_i - p) } ^2
でした。