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積分計算 ∫{-∞,∞} (x^2)/(coshλx) dx = (Δx)^2 について
arrysthmiaの回答
- arrysthmia
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積分経路は、 原点を含む実区間 [a,b] と、b から a までを虚軸と一回だけ交わって 結ぶ曲線を連結したもの では、どうでしょう? 留数定理を使った後、 この曲線が囲む領域に含まれる 原点中心の半円を考え、 その半径→∞ の極限を求めればよい。 cosh(x) = (exp(x)+exp(-x))/2 = cos(x/i) を見れば、 cosh は虚軸上に可算無限個の極を持つ ことが判ります。 経路の極限をとるときに、 留数からなる無限級数の和を 求めることになりますね。 Δx は、出典の前後文脈を読む以外には 知りようがありませんが、 当て推量としては、左辺の √ を Δx と置く …という意図じゃないかな。 後半の dp の積分は、 λ が定数なら、2 次関数の積分だから、発散。 λ が p の関数ならば、その関数を知らないと 計算のしようがありません。
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