フェルミの黄金律を求めるときの積分

質問

次の定積分の計算方法をお願いします

∫(-∞,∞)[{sin(x)/x}^2]dx

答えはπになるらしいのですが、計算の方法がわかりません。

留数定理やらジョルダンの補題やら使ってみたのですが
特異点が間違っているのか、計算がうまくいきません

回答No.1

Ae610 · ベストアンサー

∫[0,∞]e^(-x)cos(αx)dxという積分を考えると、
∫[0,∞]e^(-x)cos(αx)dx=1/(1+α^2)となる。・・・(1)

(1)はαに関して一様収束するので今、(1)をαに関して積分すると
∫[0,α]dα∫[0,∞]e^(-x)cos(αx)dx
=∫[0,∞]e^(-x)(sinαx/x)dx
=∫[0,α]1/(1+α^2)dα
=arctan(α)となる。これをもう一度αに関して積分すると
∫[0,α]dα∫[0,∞]e^(-x)(sinαx/x)dx
=∫[0,∞]e^(-x)((1-cosαx)/x^2)dx=∫[0,α]arctan(α)dα
=αarctan(α)-1/2・log(1+α^2)・・・(2)

x=bx,α=1/bとおいて(2)式に代入すると
1/b・∫[0,∞]e^(-bx)((1-cosx)/x^2)dx=(1/b)・arctan(1/b)-1/2・log(1+(1/b)^2)
∴∫[0,∞]e^(-bx)((1-cosx)/x^2)dx=arctan(1/b)-b/2・log(1+(1/b)^2)
b→0の極限をとると
∫[0,∞]((1-cosx)/x^2)dx=π/2 ・・・(3) (ロピタルの定理からb/2・log(1+(1/b)^2→0)
(3)でxをx=2tおよびx=-2tとして足すと
∫[0,∞]((1-cosx)/x^2)dx
=∫[0,∞]((1-cos(2t))/t^2)dt
=∫[0,∞](sin(t)/t)^2dt=π/2・・・(4)
∫[0,-∞]((1-cos(-2t))/t^2)(-dt)
=∫[-∞,0]((1-cos(2t))/t^2)dt
=∫[-∞,0](sin(t)/t)^2dt=π/2・・・(5)
(4)+(5)
=∫[-∞,∞](sin(t)/t)^2dt=π

お礼

非常に助かりました。

このような、単純な方法で解けるとは思ってもいませんでした。
ずっと使えない留数定理で発散する計算をしていた自分が馬鹿らしく思えてきました。