数列の問題

質問

a_1=1
a_n=a_1*a_{n-1}+a_2*a_{n-2}+a_3*a_{n-3}+・・・・・+a_{n-2}*a_2+a_{n-1}*a_1

という風に定義されている、a_nを求めるという問題なのですが、
a_1=1
a_2=1
a_3=2
a_4=5
という風に書いていって、差分をとったりして規則性を見つけられないかといろいろやってみましたが、うまくいきそうにありません。

どなたかいいアイデアがあったら教えていただきたいです。
よろしくお願いします。

回答No.1

f272 · ベストアンサー

それではヒントだけ。
(問題)
a_1=1
a_n=a_1*a_{n-1}+a_2*a_{n-2}+a_3*a_{n-3}+・・・・・+a_{n-2}*a_2+a_{n-1}*a_1
(解)
a_n=f(n)とおく。
f(1)=1
f(n)=f(1)f(n-1)+f(2)f(n-2)+...+f(n-2)f(2)+f(n-1)f(1)
ここで、
F(x)=f(1)+f(2)x+...+f(n+1)x^n+...
とする。
(F(x))^2=(f(1))^2+(f(1)f(2)+f(2)f(1))x+(f(1)f(3)+f(2)f(2)+f(3)f(1))x^2+...
だから
F(x)-f(1)-f(2)x
=f(3)x^3+f(4)x^4+...
=(f(1)f(2)+f(2)f(1))x^3+(f(1)f(3)+f(2)f(2)+f(3)f(1))x^4+...
=x((F(x))^2-(f(1))^2)
従って
x(F(x))^2-F(x)+f(1)+f(2)x-(f(1))^2x=x(F(x))^2-F(x)+1=0
これでF(x)を求めたらf(n)もわかるでしょ。

お礼

解答有り難うございます。

一応、
F(x)=(1±√(1-4x))/2x
までは求めたので、多分後は、何かF(x)をf(n)のみが残るように処理するのだろうとは思ったのですが、どうしてもここからf(n)を取り出す方法が分かりません。是非その辺を教えていただきたいです。
宜しくお願いします。

回答No.7

f272

なんだか難しいことを考えているなあ。
だいたい
1/x =1+(1-x)+(1-x)^2+(1-x)^3+...+(1-x)^n+...
　　=Σ[l=0:k]Σ[m=l:k]C(m,l)(-x)^l
の式のkって何だ？と思ってしまいます。
わたしなら、もっと簡単に
F(x)=f(1)+f(2)x+...+f(n+1)x^n+...
でx=0のときF(0)=f(1)=1で有限だから
2xF(x)=1±√(1-4x)にx=0を代入したときの
2*0*F(0)=1±√(1-4*0)
の復号はマイナスを採用しないといけない。
とあっさり言ってしまいます。

お礼

あー、確かに0を入れるのが一番スマートですね＾＾；
あと、kじゃなくて∞でした・・・

どうも有り難うございました。

回答No.6

f272

f(n)=-(1/2){(1/2)(1/2-1)(1/2-2)...(1/2-(n-3))(1/2-(n-2))(1/2-(n-1))((-4)^n)/n!}
ここまで分かったんだよね。あとは計算するだけなので、「どのようにすれば」と言われても困るんだけど...
もう少し、ヒントを書いておきます。
{}の中の
1/2 　　に-2を掛けて -1
1/2-1　　に-2を掛けて2 -1
1/2-2　　に-2を掛けて4 -1
...
1/2-(n-3)に-2を掛けて2(n-3)-1
1/2-(n-2)に-2を掛けて2(n-2)-1
1/2-(n-1)に-2を掛けて2(n-1)-1
これで
f(n)=-(1/2){(-1)(2-1)(4-1)...(2(n-3)-1)(2(n-2)-1)(2(n-1)-1)(2^n)/n!}
f(n)=(1/2){(1)(3)...(2(n-1)-5)(2(n-1)-3)(2(n-1)-1)(2^n)/n!}
になった。これで｛｝の中を良く見ると奇数ばっかりを掛けていることになっているから、偶数も掛けた形にすると見やすい。
そこで分子、分母に(2)(4)...(2(n-1)-4)(2(n-1)-2)(2(n-1))=(n-1)!*2^(n-1)を掛けてみましょう。

お礼

なるほど、(n-1)!/(n-1)!を掛けたら良かったんですね。
確かにこうすると、綺麗に計算できました。

あと、一つ確認したいのですが、±√の計算のところで、プラスにしてしまうと、1/xが出てきてしまいます。
そこで、これをx=1についてテイラー展開すると、
1/x =1+(1-x)+(1-x)^2+(1-x)^3+...+(1-x)^n+...
　　=Σ[l=0:k]Σ[m=l:k]C(m,l)(-x)^l
よって、f(n)に、
Σ[m=n-1:k]C(m,n-1)(-1)^(n-1)
が加算されることになる。
これはn≧1において±∞となるためプラスの場合は解として不適、という理解で良いんでしょうか？

回答No.5

arrysthmia

そうだね。
特異点を探して収束半径を確認するためには、
分子を有理化したほうが見やすいが、
ベキ級数に展開するためには、
(2) のままが良い。
√z を z=1 中心にテーラー展開するだけ
になるから。

回答No.4

f272

F(x)=f(1)+f(2)x+...+f(n+1)x^n+... ...(1)
と
F(x)=(1±√(1-4x))/2x ...(2)
が分かったんだから何とか(2)をべき級数の形にすればx^nの係数がそのままf(n+1)になるわけです。
ここで問題になるのは√(1-4x)の部分だけど
√(1-4x)
=(1-4x)^(1/2)
=Σ[n=0:∞]C(1/2,n)(-4x)^n ただしC(1/2,n)は（一般化された）二項係数
=1+Σ[n=1:∞]((1/2)(1/2-1)(1/2-2)...(1/2-n+1)(-4x)^n/n!)
と言うことに注意すればべき級数の形にできるでしょう。
結果は
f(n+1)=C(2n,n)/(n+1)
になるのでがんばって確認してください。
また
F(x)=(1±√(1-4x))/2x
の復号のうち、プラスの方は題意に適さないことも確認してください。

お礼

マイナスの場合,
F(x)=-(1/2)Σ[n=1:∞]{(1/2)(1/2-1)(1/2-2)...(1/2-n+1)((-4)^n)x^(n-1)/n!}
となるので、
f(n)=-(1/2){(1/2)(1/2-1)(1/2-2)...(1/2-(n-3))(1/2-(n-2))(1/2-(n-1))((-4)^n)/n!}
とり、分母にはn!があるので問題ないのですが、すべての分子の掛け算のかたまりそれぞれに-4をかけても、分子のほうに、
2(n-1)(2(n-1)-1)(2(n-1)-2)...(n+1)n
という値が出てきません。どのようにすればC(2n,n)のような項が出てくるのでしょうか？

回答No.3

f272

真剣に計算してないけど多分
|x|<1/4
なら収束するでしょ。> No.2の人

回答No.2

arrysthmia

その F(x) は、収束する？