パウリの排他律は多電子系において成り立つべきなのか？

質問

件名の通りですが、パウリの排他律が「多電子系」において成り立つべきなのか疑問に思ったので、質問させていただきました。

よく見るパウリノ排他律の定義：
「2つの電子が同時に同じ量子状態（エネルギー状態）を占めることができない」

まず教科書に出てくるような「中心対称な１電子系における主量子数による電子状態の定義」はわかっているつもりです。この「電子状態の定義」のもとでは、上記の「パウリの排他律の定義」は特に疑問は無く、フェルミオンの反対称性から導出されることも理解できます。しかし、一般にこのような「電子状態の定義」は（私が知る限り）無理です。

（質問１）一般の多電子系において、電子状態とはどう定義されるべきものなのか？

話を簡単にするため、非相対論的ハミルトニアンH（つまりは量子力学の最初にならうようなシュレディンガー方程式）を考えます。このとき、パウリの排他律は、この「H」と「多体波動関数の反対称性」で「パウリの排他律」を説明できないか考えてみました。（もっとも近似的なハミルトニアンを用いているため、パウリの排他律が満足される必然性がない可能性がある、とは思います。）

結論から言いますと、私には説明できませんでした。

（質問２）「H」と「多体波動関数の反対称性」で「パウリの排他律」を説明できるのか？できないのであるとするならば、非相対論の範囲ではパウリの排他律を満足しない可能性がある？

（質問３）量子力学にとらわれず、相対論、素粒子論も含めて、なにかパウリの排他律を説明する手段をご存じないでしょうか？多電子系の場合において。

よろしくお願いします。

回答No.3

grothendieck

白色矮星について私が挙げたURLは手軽に見るには良いですが、もっとちゃんとした本を読まれることをお勧めします。
　S.L.Shapiro and S.A.Teukolsky,"Black Holes, White Dwarfs and Neutron Stars" (Jhon Wiley and Sons)
白色矮星は高密度・低温の星で電子がほぼFermi準位まで占有されているような星です。パウリ排他律によって温度が０でも圧力(縮退圧)が生じるため強い圧力を支えられるのです。もちろんこんな素人でも知っているようなことは「専門家」の権威ある回答に完璧に記述されています。しかし「専門家」のご高説はあまりにも程度が高く難解、Sophisticatedで凡人には理解不能です。高踏的、高度の素養を要するため素人が読むと逆の意味にさえ取られかねません。つまり「白色矮星ではパウリの他排律が破れて全ての電子が１ｓ軌道に落ち込みます。」という文を素人でも分かるように書き直すと「パウリ排他律のため最低エネルギー準位に全ての電子が入ることはできず縮退圧が生じます」となるのです。なんという深い含蓄でしょう！さすがは「専門家」ですね。パウリ排他律を実際の問題に適用するときは「フェルミオンの波動関数は反対称化すべし」という形で使われてきました。これはあらゆる領域で有効性が確認されてきました。場の演算子の反交換関係を厳密に定式化しても波動関数の反交換関係を導けないのではしょうがないのではないでしょうか。

お礼

補足　ありがとうございました。

＞パウリ排他律を実際の問題に適用するときは「フェルミオンの波動関数は反対称化すべし」という形で使われてきました。

結局のところ、第一量子化（と言うのかどうか知りませんが）の範囲においては、パウリの排他律≒フェルミ統計＝＞反対称化でよいようで、安心しています。なんら、今まで自分がしてきたことに矛盾しなかったからです。

「非相対論のHはあくまで近似であり、フェルミ統計を満たす根拠があるわけではない。」と書きましたが、よくよく考えたら、ハミルトニアンの粒子番号に対する対称性から、固有波動関数は粒子の入れ替えに対して反対称（または対称）にとることができますね。

しかるに、フェルミ統計＝＞反対称化とするなら、全く問題は無かったということになりますね。残る問題は　反対称化＝＞フェルミ統計　が言えるのかどうかどうかですが、それはゆっくり考えたいと思います。

ありがとうございました。