可動コイル型の検流計に関する問題です

質問

次の問題についての回答かヒントをお願いします．
１．検流計のコイルの抵抗を測定する方法を１つ示せ．ただし，電池１個と抵抗器数個のみが使えるものとする．
２．検流計の運動が以下の式で与えられるとする．この時，運動が臨界制動となる条件を求めよ．ただし，θは検流計にステップ状の電流iを流した時の回転角である．なお，電流はt>0で一定値をとるものとする．
　md^2/dt^2＋kdθ/dt＋τθ＝αi
３．検流計Ｇと抵抗Ｒと電池Ｅを直列接続した回路について考える．検流計Ｇのコイルの抵抗をRgとしたとき，検流計を臨界制動とする抵抗Ｒの値Rcdを求めよ．なお，この回路では，t＝0においてスイッチを入れ，Ｌを回路のインダクタンスとしたときの逆起電力
　αdθ/dt＋Ｌdi/dt
が生ずる．
４．３．の図でＲを一定としたとき，検流計Ｇのふれの大きさを最大とするコイルの抵抗Rgを求めよ．ただし，Rgはコイルの巻き数nの２乗に比例するものとする．

回答No.1

mmky · ベストアンサー

参考程度に

md^2θ/dt^2＋kdθ/dt＋τθ＝αi
ω=√(τ/m)　：振動周波数
ξ=k/2mω　　：制動ファクター
と置けば、
(d^2θ/dt^2)＋2ξω(dθ/dt)＋ω＾2θ＝(αi/m)

ラプラス変換を使って、
s＾2θ(s)-sθ(0)-θ'(0)+2ξω[sθ(s)-θ(0)}+ω＾2θ(s)=(α*1/ms)
ステップ電流の印加なので、θ(0)=0, θ'(0)=0 とすれば、
θ(s){s＾2+2ξωs+ω＾2}=(α/m)/s

θ(s)=(α/m)/s{s＾2+2ξωs+ω＾2}=(α/m)/s(s-s1)(s-s2)
s0=0, s1, s2=ω(-ξ±j√(1-ξ＾2))=γ±jβ
γ=-ξω, β=ω√(1-ξ＾2)
虚数項　β=ω√(1-ξ＾2)=0 が臨界制動の条件ですから、
ω≠0, 1-ξ＾2＝0, ξ＾2=(k/2mω)＾2=1, ω=k/2m=√(τ/m) が条件ですね。

まともに逆変換すると、
θ(t)=(α/mω＾2){1+(ω/β)e＾-γt*sin(βt-Φ）}: Φ=tan-1(-β/γ）
=(α/mω＾2){1+(1/√(1-ξ＾2))e＾-ξωt*sin(√(1-ξ＾2)ωt-Φ）}
という感じになりますね。
ξ＾2→+1, の時、θ(t)→(α/mω＾2)　になるから振動はしないね。

というように面倒なんだけど、簡単には
(d^2θ/dt^2)＋2ξω(dθ/dt)＋ω＾2θ＝0
と置いて、(dθ/dt)を変数と考えて、
D=(2ξω)＾2-4ω＾2=0, であれば複素数根はないので、
θ(t)に振動解はないようにと出来るので、ξ＾2=1, ω=k/2m とはなるね。
そんな感じで参考程度に

お礼

２．の問題を丁寧に解説して頂き，ありがとうございます！『振動周波数』，『制動ファクター』初めて耳にしました。検流計の方程式md^2θ/dt^2＋kdθ/dt＋τθ＝αiはやっぱり力学的な運動方程式から導かれるのしょうかね。どういう過程でこういう方程式が出てくるのでしょうか？ご存知でしたらご回答お願いします。ちなみに，他の３問もさっぱりですf^^;

回答No.2

mmky

参考程度に
力学的な運動方程式から導かれるのしょうかね。

そのとおりです。力学的な運動を方程式にしているだけですね。電気と方程式はまったく同じです。ダンパーは電気的な容量と等価ですね。ばねは誘導インダクタンスと等価、電流のかわりが変位量（角度や距離）というだけですね。この問題では変位量θ=K*i（電流） とすれば等価ですね。

（3）は、{αdθ/dt＋Ｌdi/dt }が逆起電力ですから、
αdθ/dt＋Ｌdi/dt +(R+Rg)i=E
θ(t)=K*i ：（2）の臨界制動時の電流と変位の関係より。
とでも置けば方程式はとけますね。

お礼

ありがとうございます。
検流計についてもう少し調べてみようと思います。