微分

質問

y=x・3^xを微分せよ。
=3^x+x^2・3^(x-1)
ではないのですか。

回答No.4

Knotopolog · ベストアンサー

この微分を少し詳しく書いてみました．

y＝x・3^x の微分は，積の微分法を使います．両辺を　x　で微分すると，

y'＝(x)'・3^x ＋ x・(3^x)'

x の微分 (x)' は，１ になります．だから，(x)'＝１ なので，上の式は，

y'＝3^x ＋ x・(3^x)'

となります．次に，3^x の微分 (3^x)' は， x^3 の微分ではないので，
3^(x-1) の様に，「指数－１」の規則は使えません．
これを微分するには，まず，3^x を

u＝3^x

とおきます．すると，上式の微分 u'＝(3^x)' を得るためには，u＝3^x の
自然対数をとります．すると，上の式は，

log(u)＝log(3^x)＝x*log(3)

となります．そこで，log(u)＝xlog(3)　の両辺を対数の微分法を使って微分すると，
log(3) は定数なので，

u'/u＝log(3)

となります．したがって， u'＝(3^x)' は

u'＝u*log(3)

と書けます．u'＝u*log(3)　は，u　が u＝3^x なので

u'＝(3^x)*log(3)

です．これで計算は終わりで，求めたい微分　y'＝3^x ＋ x・(3^x)' は，

y'＝3^x ＋ x・(3^x)' ＝3^x ＋ x・(3^x)*log(3)

となり，結局，求める微分　y'　は，

y'＝3^x ＋ (log3)・x・(3^x)

です．これは，

y'＝(3^x)・( 1 ＋ (log3)・x )

とも書けます．

回答No.3

noname#95312

y=x・3^x
両辺の自然対数（底をe（ネピア数）とした対数）を取ると
log[e](y)=log[e](x)+x・log[e](3)

ここで、両辺を x で微分すると
(1/y)・dy/dx=(1/x)+log[e](3)
dy/dx=y{(1/x)+log[e](3)}
=x・3^x・{(1/x)+log[e](3)}
=3^x・{1+x・log[e](3)}

回答No.2

info22

>=3^x+x^2・3^(x-1)
>ではないのですか。
間違っています。

y'=x'*3^x+x*(3^x)'
=3^x+x*{e^(xlog3)}'
=3^x + x*{e^(xlog3)}*(xlog3)'
=3^x + x*(3^x)*log3

回答No.1

rnakamra

f(x)=3^x とすると f'(x)=(ln3)3^xです。
これから先は席の微分公式を使えば出てきます。
(ln3は3の自然対数です。3=e^(ln3)となります。)