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基本的な偏微分

偏微分と微分の違いがわかりません (1)f(x,y)=x^5*y^2 + 3x^3*y + y^3 (2)f(x,y)=(x^2+y^2)^(1/2) 上記のような問題のとき xについての偏微分とxについての2回偏微分とは どのようになるのでしょうか?

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回答No.1

こんにちは。 微分ができるなら偏微分はおそるに足りません。 偏微分は変数が複数のときに、微分する変数以外の残りの変数を定数と思って微分するということで、それ以外は普通の微分と同じです。 (1)f(x,y)=x^5*y^2 + 3x^3*y + y^3 これは変数が二つx,yで、xについて偏微分したいのですから、yを定数と思って、xについて普通の微分をするだけです。 aを定数として、 (i) f(x)=x^5*a^2 + 3x^3*a + a^3 この微分ならできますよね? まずこれをご自分の手を動かしてやってみてください。 f'(x) = 5x^4*a^2 + 9x^2*a になりますね。これができれば、(1) のf(x,y)のxの偏微分は全く同じようにできます。yを定数と思うだけです。 (i)のf(x)は(1)のf(x,y)でyを定数aにおいただけです。 実行すると、 ∂f/∂x = 5x^4*y^2 + 9x^2*y ∂^2f/∂x^2 = 20x^3*y^2 + 18x*y になります。 (2)も同様に考え、 ∂f/∂x = (1/2) 2x (x^2+y^2)^(-1/2) = x / (x^2 + y^2)^(1/2) ∂^2f/∂x^2 = 1/(x^2 + y^2)^(1/2) + x (-1/2) 2x (x^2+y^2)^(-3/2) = (x^2 + y^2)/(x^2 + y^2)^(3/2) - x^2 /(x^2 + y^2)^(3/2) = y^2/(x^2 + y^2)^(3/2) となります。 これをヒントにして必ず自分の手を動かして実行することを強くお勧めします。

matuandake
質問者

お礼

回答ありがとうございました たいへん良くわかりました。

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その他の回答 (1)

  • maku_x
  • ベストアンサー率44% (164/371)
回答No.2

偏微分の定義は理解されていますか? 理解できれば、簡単に求められますよ。 http://ja.wikipedia.org/wiki/%E5%81%8F%E5%BE%AE%E5%88%86

matuandake
質問者

お礼

定義とかは調べてみたのですが例題が無いと良くわからなかったので ここに質問させていただきました。 回答ありがとうございます

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