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三角関数の逆関数微分および置換積分の際の絶対値について

こんにちは。 とある問題集の、 ∫{1 / ( (1-x^2) * (x^2+1)^(1/2) )}dx を計算せよ、という問題についていです。 解答を見たところ、x=tanθと置くそうなのですが、その計算において (x^2+1)^(1/2) = ((tanθ)^2+1)^(1/2) = 1/cosθ としているところに 疑問を持ちました。 思うに、-π/2<θ<π/2 などの条件があるなら格別、そうでなければ (x^2+1)^(1/2) = 1/|cosθ| と絶対値を付けるべきではないですか? この問題集では、たとえば y = arcsin x でのdy/dx を求める際も、 siny = x ⇔ dy/dx * (cosy) = 1 ⇔ dy/dx = 1/cosy = 1/(1-(siny)^2)^(1/2) = 1/(1-x^2)^(1/2) などと絶対値を考慮せず計算している場合があります。 (おそらく、前者の積分問題に関しては)絶対値で場合分けしても、 答えは同じになると思うので、まあ省略したと納得できなくもないですが、 後者の場合だと絶対値で場合分けすると答えが変わってくるので 問題になります(そもそもyがxの関数でないことが問題なのでしょう)。 このように、三角関数の逆関数微分、および置換積分の場合は、絶対値 符号は何も言及せずに外してもいいのでしょうか? 大学院受験での解答を前提として教えていただきたいです。

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x=tanθと置くとき、xの定義域が(-∞,∞)とすると、θの値域を通常は(-π/2,π/2)ととります。 もちろん、(π/2,3π/2)にすることは出来ますが、(0,π)と取ることは出来ません。(この場合、x=0でθが連続でないために問題がある) この解説を書いた人は暗に(-π/2,π/2)と置いてしまったのでしょう。 理解はできるのですがさすがに不親切です。

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質問者からのお礼

理解できました! ありがとうございます。 y=arcsinx の方はxの定義域では説明できなさそうですが、こちらはいかがでしょうか?

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  • 回答No.2

逆正弦関数y=arcsin(x)の値域は[-π/2,π/2]です。 この範囲ではcos(y)≧0となります。

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質問者からのお礼

なるほど、関数にするために[-π/2,π/2]の定義域を取るのですね! どの問題も定義域が定められていなかったので、「関数ではないのでは?」 と疑問を持ってしまっていました。 ありがとうございます!

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