代数学

質問

ｆ：G→G’を郡の単射準同型のとき、

ｇ（　G　の位数と、ｆ（ｇ）の位数は等しいというのは
どうすれば証明できますか？

準同型とは
ｆ（ab)= f (a) f(b)
単射とは　f(a) = f(b) ならばa=b である

まったくわかりません・・・
教えてください、よろしくお願いします。

回答No.1

PRFRD · ベストアンサー

g の位数を n とします．すなわち n は g^n = 1 なる最小の正整数です．
このとき f の準同型性から f(g)^n = f(g^n) = 1 となるので
f(g) の位数 ≦ g の位数 となります．

一方，f(g) の位数を m とすると，f の準同型性から
f(g)^m = f(g^m) = 1 となり，f の単射性から g^m = 1 となります．
よって m は g の位数よりも大きいので f(g) の位数 ≧ g の位数 となります．
これらをあわせて主張が従います．

お礼

わかりやすい回答ありがとうございます。
もう少し質問させていただいてもよろしいですか？

f(g) の位数 ≦ g の位数
f(g) の位数 ≧ g の位数

この２つが成り立つときが
f(g) の位数 ＝ g の位数
ということでしょうか？

準同型性より f(g)^n = f(g^n) = 1 となるのはわかるのですが、
どうして
f(g) の位数 ≦ g の位数 となるのでしょうか？

回答No.4

arrysthmia

＞ g∈Gです

そうですか。ゲンナリです。
質問文に「 ｇ（　G 」とあるし、
貴方の別の質問 http://oshiete1.goo.ne.jp/qa5048954.html に
「 T（　S　をSの部分環　とするとき 」
「（　は部分集合であることを示しています 」とあるのにね。

集合ではなく、元の位数の話なら、No.1 にある通りでしょう。

＞ 単射の場合、ｆ（ｇ）には　ｇからの写像でない要素が含まれてる
＞ 場合があると思うのですが

ありません。
No.2 では、g⊂G の話をしているのですから、
f(g) の定義は f(g) = { f(x) | x∈g } です。
f(g) に、g からの像でない元はありません。

お礼

よく考えればｆ（ｇ）にｇからの写像でない要素が含まれているわけありませんでした。。。
とんちんかんでごめんなさい。
こんな私ですけど、これからもよろしくお願いします。

回答No.3

PRFRD

No.1 のコメントについて

a ≦ b と a ≧ b が成り立てば a = b ですよね．
一般に，何かがイコールであることを証明するために，
両向きの不等号を示すのは極めて標準的な方法です．

f(g) の位数とは「f(g)^m = 1 なる最小の正整数 m」でした．
f(g)^n = 1 だったら，少なくとも n はそのような m の候補で，
もっと小さな m があるかもしれないので不等号となります．

非常にアタリマエのことなので，是非落ち着いて考えてみてください．

お礼

すごくよくわかりました。
簡単な質問を何度も丁寧に教えてくださって、
ありがとうございました。

回答No.2

arrysthmia

「位数」と言っても、イロイロありますが…
g∈G ではなく、g⊂G なんですね？
ならば、群も、準同型も、関係ありません。
f が単射であれば、終域を f(g) に制限
した写像は、g から f(g) への全単射ですね。
全単射の存在は、集合の位数が等しいことの
定義です。よって、題意は自明。

お礼

さっそく回答していただいてありがとうございます。
もう少し質問させていただいてもよろしいですか？

g∈Gです
わかりずらくてごめんなさい
位数は　ＯＲＤＥＲ　ことだと思うのですが・・・。

単射の場合、　ｆ（ｇ）には　ｇからの写像でない要素が含まれてる場合があると思うのですが、　位数は同じであると言い切ってもいいのでしょうか？？