波の干渉について

質問

コンニチワ
物理(1)Bの波の分野についてです
波の山と山、谷と谷とがぶつかった時の
波の増減についての計算の仕方について
公式を当てはめたりしてやって見ましたが
うまく答えがでません
わかる方教えて下さい
唐突な質問で申し訳有りませんが
よろしくお願いします

回答No.3

alien55 · ベストアンサー

物理(1)Bと書かれているところを見るとjhiphopさんは高校生か、高校生を教えている家庭教師・塾講師でしょうか？まあ多分前者でしょ
うから、高校生向きに書いてみます。
「波動」の分野って私も昔随分悩みましたが、あれって何故難しいかって、波動の式が位置xと時間tの2変数関数だからですよね。おそ
らく教科書には、振幅A、周期T、波長λの波の式は
Y=A sin2π(t/T-x/λ)・・・・・・(1)
って書いてあるでしょう？これってちゃんと理解していますか？　この式(1)は、波のある時刻tにおけるある位置xの媒質の変位ですよ
(変位がY)。つまり、例えば縄跳のひもを揺らして波を作ったとき、ひもの位置xの1点だけを見つめていたとき、ある時刻tにおいてカメ
ラでパシャッと写真を撮ったとき、その写真に写っているその点xのひもの平衡位置からのズレが式(1)で表されているわけです。
しかし、式(1)はどんな波にも当てはまる式じゃありません。何故かと言うと、もし式(1)にt=0,x=0(原点)を代入したら、sinの中は0だか
ら、Y=0となりますね。つまり式(1)の波動は、「時刻0において原点の媒質の変位が0(振動中心)である波」という特殊な波を表記してい
るのです。そこで、時刻0において原点（x=0）の媒質の位相（位相とはsinの中）が2πΦだとすると、
Y=A sin2π(t/T-x/λ+Φ)・・・・・・(2)
となり、この式(2)の方が、どんな波でも表せる一般的な形なのです。
しかし、ここでは混乱が起きないように馴染みのある式(1)の方を使って考えましょう。

えーと、「2つの波がぶつかったとき」とありますが、「ぶつかる」って反対方向に進行している波同士ががぶつかったときのことです
か？　うーーーん、多分そうでしょう。そのときを考えます。もし違うなら、補足してください。
いまその進行方向が互いに反対向きの波をa,bと名付けて、それらの式を、
　　波a : Ya = A sin2π(t/T-x/λ)・・・・・・(3)
　　波b : Yb = A sin2π(t/T+x/λ)・・・・・・(4)
とします。ただし、振幅、波長はどちらも等しくそれぞれA、λとしました。(3)の波aはx軸の正の向き、(4)の波bはx軸の負の向きに進行
する波です。sinの中の＋－が逆になっていることに注意して下さい。この符号の向きが進行方向を表しています。
ところで教科書の「重ね合わせの原理」のところで、これら２つの波が重なると、その変位Yは、Y = Ya + Ybになると書いてありますね。
それをそのまま実行すれば良いんです。つまり、下のametsuchiさんの続きをやるわけです。
　　　　　Y ＝ Ya + Yb ＝ Asin2π(t/T-x/λ)＋A sin2π(t/T+x/λ)
＝ 2Asin2π(t/T)・cos2π(-x/λ)　
　　　　　　　　　　　　　　　　[これは、sinA + sinB ＝ 2sin((A+B)/2)・cos((A-B)/2)の和積の公式を用います]
＝ 2Asin2π(t/T)・cos2π(x/λ)・・・・・・・・・・(5)
　　　　　　　　　　　　　　　　[これは、cos(-θ)＝cos(θ)より、cosの中の－を消しました]
式(5)が、２つの波a,bの合成波の式です。ここで、この式をどう見れば良いでしょう？
今考えているのは、波がぶつかったときの波形の変化ですね。それを見るには、波のどこかの部分だけを見つめていて（つまりxを決め
て）その時間変動を見るか、写真を撮るなどして（tを決めて）ある時刻における波形全体を見るかの2通りあります。
もし、波のどこかの部分だけを見つめていて（つまりxを決めて）その時間変動を見るなら、xに何か具体的な値を代入すればよいのです。
ここではx=Xo（定数）を代入しましょう。すると式(5)は、
Y ＝ 2Asin2π(t/T)・cos2π(Xo/λ)
となりますが、cos2π(Xo/λ)は定数ですね（Xoもλも定数ですから）。だから、cosは前に出しましょう。すなわち、
Y ＝ 2Acos2π(Xo/λ)・2sin2π(t/T)・・・・・・・・(6)
式(6)は点x＝Xoの媒質は、振幅｜2Acos2π(Xo/λ)｜、周期Tの振動をすることを示しています。振幅に絶対値｜｜を付けたのは、
cos2π(Xo/λ)が正か負かは分からないからです（定数Xoの値によります）。数学で習ったと思いますが、sinθとcosθは、実数θがな
んであっても、－1から１の間の範囲（±１を含む）にありますね。だから、式(6)の合成波の振幅｜2Acos2π(Xo/λ)｜は、0から2Aの間
の範囲（0,2Aを含む）を動くわけです。よく考えてください。２つの波は最初どちらも振幅がAだったのですが、合成することによって
最大で2Aの振幅になることがあるということです。つまり、これは高さAの山がぶつかったら最大2Aの高さになるということ。しかし、
媒質の場所によっては（Xoの値によっては）、振幅が2Aとはならない場所もあるわけです。例えば式(6)にXo＝λ/4を代入すると、cosの
中はπ/2（90°）ですから、振幅は0ですね。常に0です。つまり、この点の媒質は、波がぶつかっているにもかかわらず、全く動かずに
いるのです（これを節と言います）。

ここでは、振幅も波長も等しい波が反対向きに進んできて重なり合う場合を考えましたが、他にも色々なケースがあります。
上記では、波は無限に長く連続した媒質中の波を想像して記述しましたが、例えば限られた区間における波（弦など）の場合、正の向き
に進んだ波が固定端で反射するか、自由端で反射するかによって、反射波の式は変わってきます（位相が変わる）。
しかし、基本は上記にすべてを言い尽くしており、すなわち、波の合成において結局高校生にとって問題になるのは、
　１．合成するときに、三角関数の公式を正しく使えるか
　２．何が定数で何が変数かを判別して、式を眺めることができるか
　３．波の性質を理解しているか（固定端・自由端反射の区別、そのときの波のはねかえり方など）
の3点だと思います。これが正しく理解できれば、どんな変てこな波でも、数学的に扱えるなら計算して考えられるハズ。
もし上記の回答では不十分なら、補足をお願いします。

あっそうそう・・・今の高校生は「弧度法」って知っているんですか？角度をπとかで表すやつ。もし習ってなかったら、ゴメンナサイ。

回答No.2

noname#3307

波の干渉はまず、２つの波の経路差をだします。その経路差について周波（λ）をもとに考えます。

一般に経路差が
λ×１／２×２ｍ　　　　（ｍ＝０，１，２，３，・・・・）
で表せると強め合い、

λ×１／２×（２ｍ＋１）
で表せると弱め合います。

一番基本的な問題ならこれで解けます。
応用になると経路差の出し方が難しかったり、位相のずれが生じたりしますが、
基本はこれです。
光の干渉なんかがそれです。

回答No.1

ametsuchi

質問の意味がイマイチつかめないのだけれど、

１）波は２種類ですね？（仮にA波、B波とします）
２）２次元、３次元ではなく、１次元と思っていいですね？
３）各々の振幅は各々異なりますね。仮にａ，ｂとします。
４）周期・位相は勿論異なる。
５）各々正弦波でいいですか？
６）ということだと、一般に、

A(t) = a*sin(ωa*t + θa)...................Equ.1)
B(t) = b*sin(ωb*t + θb)...................Equ.2)

となるから、これを足せばいいんじゃないですか？普通は波の問題は複素数を使うのですが、高校レベルと判断したので、使ってません。