位相の問題で、回答がなくて困っています。

質問

ｆをＸの閉集合を全部集めた集合とする。このとき次が成り立つことを示せ。
１)Φ∈ｆ，Ｘ∈ｆ
２)ｎ∈Ｎとする。もしＦ1，Ｆ2，…，Ｆｎ∈ｆならば∪(k＝１～n)Ｆk∈ｆ
３){Ｆλ}λ∈∧を集合∧で添え字づけられた閉集合族とすると、∩(λ∈∧)Ｆλ∈ｆ

時間のある方教えてください。

回答No.3

zk43 · ベストアンサー

通常は、まず、開集合を定義して、これをもとに閉集合を定義します。
Xの開集合全体の集合uは次の３つを満たす。（定義）
１)Φ∈u，Ｘ∈u
２)ｎ∈Ｎとする。もしU1，U2，…，Uｎ∈uならば∩(k＝１～n)Uk∈u
３){Uλ}λ∈∧を集合∧で添え字づけられた開集合族とすると、∪(λ∈∧)Uλ∈u
Xの閉集合とは、ある開集合の補集合となっていることである。（定義）
つまり、FがXの閉集合であるとは、あるU∈uに対して、F=X-Uとなって
いることである。
よって、
１）Φ=X-X∈f, X=X-Φ∈f
２）は、Fk=X-Uk、３）は、Fλ=X-Uλと表して、集合の演算を使えば
できます。（ド・モアブルの定理を使う）

回答No.2

arrysthmia

No.1 のヒントに沿って…

質問文中の 1)～3) は、「閉集合」を定義する公理群なので、
証明は、「定義より自明」で完了。

この公理によって、Ｘ に付随する閉集合族 ｆ を定義すると、
(Ｘ,ｆ) のペアを位相空間とみなすことができる。

このようにして、Ｘ に位相を導入すると、位相に関連する
諸概念も定義できるようになる。　例えば、開集合とは、
Ｘ の部分集合のうち、補集合が閉集合であるもののこと。

回答No.1

sinisorsa

基本的な問題なので、位相に関する教科書を見れば、載っていると思います。
位相の定義は何を使っていますか。
定義によっても、解答の方向が違ってきますよ。

補足

回答ありがとうございます。
定義：Ｘを空でない集合とする．Ｘの部分集合の族ｕで次の条件を満たすものが与えられているとき、ｕはＸ上に位相を定めるという．
１、Φ，Ｘ∈ｕ
２、U1，U2∈ｕ⇒U1∩U2∈ｕ
３、ｕの元からなる任意の集合族{Uλ}λ∈∧に対し∪λUλ∈ｕ

位相空間Ｘの部分集合Ｆは、その補集合Ｘ－Ｆが開集合となるとき閉集合という．