三項隣接の数列の図形的意味合いが、わかりません

質問

二項隣接数列の問題の場合。
例えば、
Ｘ(1)=1 、 (1)は添字です。の時、Ｘ(n+1)=1/2Ｘ(n) + 2 、(n+1) と、(n) 、は添字です。1/2 ,は係数。で、数列、Ｘ(n)の極限値を、求めよ。ですが。
数列二項隣接の場合
は、X(n+1)=X(n)
と、表現され、この時の極限値を、kと、すれば、、
k=f(k)となる。この、(k、k)は、直線、y=x と、 y= 1/2x+2、1/2 は、xの係数、の二つの直線の交点(4 、4)が、極限値に、なることは図形的意味合いとして、理解できましたが。
しかし、
三項隣接の数列の場合、
例えば、
Ｘ(1)=1 、 Ｘ(2)=2の時、(1) 、 (2)、は添字。
3X(n+2) -4Ｘ(n+1)+ Ｘ(n)=0 、(n+2) 、 (n+1) 、 (n) 、は、添字。で、数列Ｘ(n),の極限値を求めよですが。
計算では、でるのですが、図形的意味合いが、全く出てきません。宜しくお願いします。

回答No.3

f272 · ベストアンサー

#2です。

いい加減な書き方をしていた私が悪いのだが
> X[n+2]=(4/3)X[n+1]+(-1/3)X[n]、より
> X[n+1]=(1)X[n+1]+(0)X[n]
> が導かれます。と、
ではなくて，「3X[n+2]-4X[n+1]+X[n]=0」から「X[n+2]=(4/3)X[n+1]+(-1/3)X[n]」が導かれる。それと「X[n+1]=(1)X[n+1]+(0)X[n]」は明らかにいつでも成立する，と読んでください。

ついでに「特殊な点(1,1)と(1,3)」と言っていますが，実際にはy=x上の点は(1,1)と同じように「いつまでたっても同じ」ですし，y=3x上の点は(1,3)と同じように「どんどん0に近づく」です。

補足

早速の返信ありがとうございます。だいぶ、分かりかけてきた？ようですが。よく、検討して、また、わからなければ、よろしくお願いいたします。

回答No.2

f272

#1さんが言っていることと本質的にはまったく同じことを言うだけです。

3X[n+2]-4X[n+1]+X[n]=0
から
X[n+2]=(4/3)X[n+1]+(-1/3)X[n]
X[n+1]=(1)X[n+1]+(0)X[n]
が導かれます。これは2次元平面上の点(X[n+1],X[n])を(X[n+2],X[n+1])に移す変換と考えることができます。たとえば
(2,1)→(7/3,2)→(22/9,7/3)→(67/27,22/9)→...
です。この変換には特殊な点があって
(1,1)→(1,1)→(1,1)→(1,1)→...(いつまでたっても同じ)
(1,3)→(1/3,1)→(1/9,1/3)→(1/27,1/9)→...(どんどん0に近づく)
となります。
(X[2],X[1])=(2,1)=(5/2)(1,1)+(-1/2)(1,3)
と考えると
(X[2],X[1])→(5/2)(1,1)
になることは，明らかです。

ここで考えたことのうち，特殊な点(1,1)と(1,3)を出すところは難しいかもしれませんが，固有ベクトルを求めることを学べば，計算で出すことができるようになります。

補足

ありがとうございます。難しいが、一歩前進の感ですが、前進か、停滞か、解らないのが、 今の私です。
ところで
、
X[n+2]=(4/3)X[n+1]+(-1/3)X[n]、より
X[n+1]=(1)X[n+1]+(0)X[n]
が導かれます。と、
ありますが、
これは、

X[n+2]-X[n+1]=(1/3){X[n+1]-X[n]} より、
X[n+2]-X[n+1]=(1/3)(n){X[2]-X[1]} より、## (n)は、n乗のこと、##
より、
X[n+1]=(1)X[n+1]+(0)X[n]
と、なることなのでしょうか。 宜しくお願いします。

回答No.1

tmpname

すごくざっくり言うと、3X(n+2) -4Ｘ(n+1)+ Ｘ(n)=0 からはある2次元平面上の「回転、引伸し、反転」を行う関数が定義できて、この数列の極限値はその関数によって移動しない点とみることができます。
以下に書いている事がよく分からなれば、「大学に入って線形代数というものを習えば分るようになる」と思っておけばいいです。

高校でもでてくるかもしれないが、v(n) = ( (x(n+1)) , (x(n)) )（つまり大きさ2の列ベクトル（縦ベクトル）で、1行目がx(n+1)、2行目がx(n)）とおく。
2×2の行列 A を、 A = ( (4/3, -1/3) , (1, 0)) （1行目が4, 3 2行目が1,0）とおくと、

v(n+1) = A v(n) (1) 、v(1) = ((2), (1))

となっている。Aは、大きさ2の列ベクトルに対するAffine変換
https://ja.wikipedia.org/wiki/%E3%82%A2%E3%83%95%E3%82%A3%E3%83%B3%E5%86%99%E5%83%8F
になっており、大きさ2の列ベクトルからなるベクトル空間に対する線形写像になっている。

Aを2次元平面上の写像と見た場合、Aは連続なので、(1)が収束するとし、その収束先のベクトルを w = ((w1), (w2))（これも列ベクトル）とすると、 w = Aw （右辺は 2×2行列と 2×1行列の積）を満す必要がある。これは、収束先の2次元ベクトルwが、Affine変換 Aに対する不動点
https://ja.wikipedia.org/wiki/%E4%B8%8D%E5%8B%95%E7%82%B9
になっていることを示しており、線形代数の言葉を使うと、wが一次変換Aに対する固有値1の固有ベクトル
https://ja.wikipedia.org/wiki/%E5%9B%BA%E6%9C%89%E5%80%A4
になっていることを示している。

補足

早速の回答、ありがとうございます。まだ、完全には、理解できませんが、半分？ぐらい、判ったような気がします。時間をかけて、もう少し、勉強してみます。また、解らないところがでれば、宜しくお願いします。