数列の問題で質問です。現在、学校では漸化式まで習っています。数学的帰納

質問

数列の問題で質問です。現在、学校では漸化式まで習っています。数学的帰納法は2学期に習います。

夏休みの宿題で、どうしてもわからないものが1題あります。教えて頂けないでしょうか。

f(x)=(x+1)(x+2)(x+3)……………………(x+n)を展開したときのx^kの係数をａk(
kは実際は小さい添え字です）とする。

（１）ａn-1を求めよ。（n-1)は添え字です。
（２）ａn-2を求めよ。（n-2）は
添え字です。

（３）a0＋a1＋a2＋a3＋…………＋anを求めよ。　（数字、nは添え字です）

回答No.4

naniwacchi

#1です。

nag0720さん、ありがとうございます。
誘導なしに、この考え方をするのは難しいかもしれませんね。
（大学に行くと、意外とこのような勘定をすることはあったりしますが）

少し計算のようすをイメージしやすくなるような図を添付しておきます。
赤い三角形の 1個分が a(n-2)になります。
対角線を挟んで、反対側にも同じ項（積の順序が逆になっただけの集まり）が現れます。
ただし、対角線上の項は不要なので、
（（正方形に並んだ全体）－（対角線の項））÷２

で a(n-2)が求まることになります。

お礼

さっそく教えてくださってありがとうございます。
もと簡単な問題かと思っていたのですが、ずいぶん難しいもので
驚きました。
友人のA子、彼女は塾で数学的帰納法を習っていますので、なんか
これを使うような気がすると言っていたのですが、そうでもなかった
のですね。
これからヒントを参考に、しっかり読ませていただきます。
でもまだ難しくて、よくわからないのは情けないです。
でも本当にありがとうございました。

回答No.3

nag0720

(2)は#1さんの回答のとおり、
a[n-2]=1*2+1*3+1*4+……+1*n
　　　+2*3+2*4+2*5+……+2*n
　　　+3*4+3*5+3*6+……+3*n
　　　+…………+
　　　+(n-3)(n-2)+(n-3)(n-1)+(n-3)*n
　　　+(n-2)(n-1)+(n-2)*n
　　　+(n-1)*n

ですが、これをそのまま計算しようとすると大変です。

(1+2+3……+n)(1+2+3……+n)
=1*1+1*2+1*3+1*4+……+1*n
+2*1+2*2+2*3+2*4+……+2*n
+3*1+3*2+3*3+3*4+……+3*n
+…………+
+(n-2)*1+(n-2)*2+……+(n-2)*n
+(n-1)*1+(n-1)*2+……+(n-1)*n
+n*1+n*2+……+n*n

を利用すれば、

(1+2+3……+n)(1+2+3……+n)=a[n-2]*2+(1*1+2*2+3*3+……+n*n)

の関係式からa[n-2]を求めることができます。

回答No.2

naniwacchi

#1です。

すみません、添付を忘れました。

回答No.1

naniwacchi

こんにちわ。

この問題、漸化式も帰納法も使わないのですが、少々ヘビー級な問題です。＾＾
ヘビーというのは「計算量」です。
このような展開係数については、場合の数（組合せ）の問題でも出てきますね。

(1)は a(n-1)＝ x^(n-1)の係数を求めなさい。ということになりますが、
「どれか 1つの(・・・)から定数項を選んで、残りの(・・・)からは xを選ぶ」
と x^(n-1)の項ができあがります。

定数項を選ぶ選び方が何とおりあるかはわかりますよね。
それらを足し合わせると a(n-1)になります。

(2)も同様です。が、非常にヘビーです。
計算方法としては、「ダブルでΣ」を使います。
添付に計算のはじめだけを書いておきます。
一度、よーく考えてみてください。

(3)、これとんでもない問題に見えると思います。
でも、一番これが簡単だったりします。というか、わかると秒殺なんです。＾＾
ヒント：なんでわざわざ「f(x)」って書いてるんでしょうね。
そして、f(x)を書き下すと f(x)＝ Σ[k=0~n] a(k)* x^kとなりますよね。

お礼

さっそく教えていただいてありがとうございます。
こんなに難しい問題とは思いませんでした。
ヒントをしっかり読んで、考えたいと思いますが、
まだよくわからないのが情けないです。
でも、本当にありがとうございました。