ラプラス変換に関連した問題です

質問

F(t)=∫ f(t-s)g(s) ds [0,t]
で定義されるF(t)について質問します。

このF(t)をf(t)のラプラス変換f(p)と、g(t)のラプラス変換g(p)を用いて表したいのですが
どうやってやればよいのかアドバイスをよろしくお願いします

回答No.1

Ae610 · ベストアンサー

記号を変えさせて頂きます。
h(t)=∫ f(t-τ)g(τ) dτ [0,t]
h＝f*g (*は合成積を表す記号)とする。Ｌ｛h(t)｝でh(t)のラプラス変換を表す記号とする。

Ｌ｛h(t)｝＝Ｌ｛f*g｝＝∫[0,∞](∫ f(t-τ)g(τ) dτ [0,t])e^(-st)dt

Ｌ｛f(t)｝＝F(s)
Ｌ｛g(t)｝＝G(s)
で表す。（sの実部Ｒ[s]で積分は絶対収束を仮定）

F(s)G(s)
＝｛∫[0,∞]f(u)e^(-su)du｝・｛∫[0,∞]g(v)e^(-sv)dv｝
＝∫∫f(u)g(v)e^(-s(u+v))dudv・・・・・(1)　（積分領域：u>0 , v>0）

今、u＝t-τ、v＝τとして(t,τ)面で変数変換する。すると
du＝dt、dv＝dτ

そうすると(1)の右辺は
∫∫f(u)g(v)e^(-s(u+v))dudv
＝∫∫f(t-τ)g(τ)e^(-st)dtdτ
＝∫[0,∞](∫ f(t-τ)g(τ) dτ [0,t])e^(-st)dt
＝Ｌ｛h(t)｝
＝Ｌ｛f*g｝

よってＬ｛f*g｝＝Ｌ｛f(t)｝・Ｌ｛g(t)｝＝F(s)G(s)
つまり、合成積のラプラス変換は、各の関数のラプラス変換の積で表せる。

お礼

早速のお返事、ありがとうございます。
大変参考になりました。