ラプラス変換

質問

f(t)のラプラス変換がF(s)で定義されるとき、
(s-α)^(-n) の逆変換の求め方を教えてください。
ｎは正の整数です。
よろしくお願いします。

回答No.1

mmky · ベストアンサー

参考程度まで

F(s)=(s-α)＾(-n)=1/(s-α)＾n
f(t)=t＾(n-1)*e＾αt/(n-1)!

導出のやり方
n=2 の時、f(t)=t*e＾αt
L{t*e＾αt}=1/(s-α)＾2
∫[0→∞]{t*e＾αt*e＾-st}dt=∫[0→∞]{t*e＾-(s-α)t}dt
部分積分を利用する。
={-t*e＾-(s-α)t/(s-α)}[0→∞]+∫[0→∞]{e＾-(s-α)t/(s-α)}dt
{-t*e＾-(s-α)t/(s-α)}[0→∞]=0
∫[0→∞]{e＾-(s-α)t/(s-α)}dt　←t は微分で消去する。
=1/(s-α)＾2

同じやり方で、f(t)=t＾(n-1)*e＾αt　を変換すると、部分積分のうち、
t＾(n-1)の微分でべき数を段々に減らしますね。
結果として(n-1)! が係数として出ますね。
だから、
L{t＾(n-1)*e＾αt}=(n-1)!*{1/(s-α)＾n}
ということで、
L{t＾(n-1)*e＾αt/(n-1)!}={1/(s-α)＾n}=(s-α)＾-n
なりますね。

回答No.3

mmky

参考程度に
(s-α)^(-n) の逆変換をまともにということでしたか。

F(s)=1/(s-α)^ｎ
f(t)={1/(n-1)!}{(d＾n-1/ds＾n-1)(s-α)＾n*F(s)*e＾st}s=α
={1/(n-1)!}{(d＾n-1/ds＾n-1)*e＾st}s=α
={1/(n-1)!}{t＾n-1}e＾αt
=t＾(n-1)*e＾αt/(n-1)!

ということかな。

回答No.2

nubou

∫（－∞＜ｔ＜∞）ｄｔ・ｈ（ｔ）・ｅｘｐ（－ｓ・ｔ）＝１／ｓ
の両辺をｎ－１回ｓで微分すると
∫（－∞＜ｔ＜∞）ｄｔ・ｈ（ｔ）・（－ｔ）＾（ｎ－１）・ｅｘｐ（－ｓ・ｔ）
＝（－１）＾（ｎ－１）・（ｎ－１）！／ｓ＾ｎ
従って
∫（－∞＜ｔ＜∞）ｄｔ・ｈ（ｔ）・ｔ＾（ｎ－１）・ｅｘｐ（－ｓ・ｔ）
＝（ｎ－１）！／ｓ＾ｎ
この式においてｓをｓ－αに置き換えて整理する

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