(a-b)(a-c), (b-c)(b-a), (c-a)(c-b)の最小公倍数が分からなくて困っています

質問

答えは(a-b)(b-c)(c-a)となるみたいなのですが、
どうしてそんなに綺麗な答えになるのかが分かりませんっ
回答お願いします。

回答No.2

believe126 · ベストアンサー

問題の写し間違いやa,b,cに関する条件（例えば「互いに素」など）の記入漏れはないですか？
a=12
b=4
c=8
としてみると，
a-b=8
b-c=-4
c-a=-4
なので，
(a-b)(a-c)=32
(b-c)(b-a)=32
(c-a)(c-b)=-16
となります．ですが，
(a-b)(b-c)(c-a)=128
で，これは最小公倍数ではないですよね？

ただ，大雑把に言えば，次のようなことから説明できます．

Lを求める最小公倍数とすると，
(a-b)(a-c),(b-c)(b-a),(c-a)(c-b)
はそれぞれLの約数になります．
つまり，Lは次の3通りの方法で書くことが出来ます．

L=p*(a-b)(a-c) = p(a-b)(a-c) =　 (a-b)　p　(a-c)
L=q*(b-c)(b-a) = -q(a-b)(b-c) = -(a-b)(b-c)　q
L=r*(c-a)(c-b) = r(a-b)(b-c) = 　 　r　(b-c)(a-c)

この3つの等式を成り立つように，
しかもLが最小になるようなp,q,rは，
p=(b-c)
q=(c-a)
r=(a-b)
ということになります．
つまり，最小公倍数L=(a-b)(b-c)(c-a)となるわけです．

正確な説明ではないですが，雰囲気は伝わるでしょうか？

お礼

よくよく考えてみたらなんとなくですが理解することができました！
馬鹿ですいません…笑

丁寧な回答ありがとうございました！！

補足

よく確かめてみましたが、記入ミスもありませんし、
条件も特に無いんです…。

「次の各組の整式の最大公約数と最小公倍数を求めよ。」
という問題でして、最大公約数が1なのは分かるんです。

だから全部を掛けて、どうにか(a-b)(b-c)(c-a)にもっていけないかやってみたんですがどうにも分からなくて…泣

説明が分かりにくくて申し訳無いです。

回答No.1

noname#160321

>(a-b)(a-c), (b-c)(b-a), (c-a)(c-b)の最小公倍数
１.(a-b)(b-c)(c-a)/{(a-b)(a-c)}=-(b-c)=c-b
２.(a-b)(b-c)(c-a)/{(b-c)(b-a)}=-(c-a)=a-c
３.(a-b)(b-c)(c-a)/{(c-a)(c-b)}=-(a-b)=b-a
です。