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a^2+b^2が3の倍数ならば,a,bはともに3の倍数である。ことと…
a^2+b^2が3の倍数ならば,a,bはともに3の倍数である。ことと… a^2+b^2=c^2ならば,a,bのうち少なくとも1つは3の倍数である。2つをmodを使って解いて下さい。お願いします(T-T)
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- Hyokko_Lin
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★a^2 + b^2が3の倍数ならば,a,bはともに3の倍数である 自然数nに対して、 (1)n mod 3 = 0 (nが3の倍数)のとき、 n = 3k (kは自然数)と書けるので、n^2 = 3(3k^2) よって、n^2 mod 3 = 0 (2)n mod 3 = 1 のとき、 n = (3k+1) (kは自然数)と書けるので、n^2 = 3(3k^2 + 2k)+ 1 よって、n^2 mod 3 = 1 (3)n mod 3 = 2 のとき、 n = (3k+2) (kは自然数)と書けるので、n^2 = 3(3k^2 + 4k + 1)+ 1 よって、n^2 mod 3 = 1 これらより、n^2 mod 3は、nが3の倍数のとき0、そのほかのとき1となることがわかる。 したがって、a^2 + b^2が3の倍数である((a^2 + b^2) mod 3 =0である)為には、 a,bはともに3の倍数でなければならない。 ★a^2 + b^2 = c^2ならば,a,bのうち少なくとも1つは3の倍数である (1)c^2 mod 3 = 0のとき (a^2 + b^2) mod 3 = 0 であるので、a,bはともに3の倍数である。 (2)c^2 mod 3 = 1のとき (a^2 + b^2) mod 3 = 1 であるので、a,bのどちらか一方が3の倍数である。 (1)、(2)より、a,bのうち少なくとも1つは3の倍数である。
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