合同式と倍数

質問

a，b，c は整数として、a2+ b2 = c2 が成り立つとき、a、b のうち少なくとも 1 つは 3 の倍数になります。ab が 6 の倍数であることを示すにはどうすればいいですか？

回答No.3

f272 · ベストアンサー

合同式を使っても使わなくても簡単さはどちらも同じです。たとえば...
(3k)^2=3*3k^2≡0 mod 3
(3k+1)^2=3*(3k^2+2k)+1≡1 mod 3
(3k+2)^2=3*(3k^2+4k+1)+1≡1 mod 3
だから，整数を2乗した数は3を法として0または1になります。
3を法として考えたとき，a，bのどちらも0と合同でないとすればa^2+b^2≡2ですから，a^2+b^2=c^2が成り立つことはありません。したがってa，bのうち少なくとも1つは0と合同です。

回答No.2

f272

(3k)^2=3*3k^2
(3k+1)^2=3*(3k^2+2k)+1
(3k+2)^2=3*(3k^2+4k+1)+1
だから，整数を2乗した数は3で割った余りが0または1になります。
a，bのどちらも3の倍数でないとすればa^2+b^2を3で割った余りは2になりますから，a^2+b^2=c^2が成り立つことはありません。したがってa，bのうち少なくとも1つは3の倍数です。

(2k)^2=4k^2
(2k+1)^2=4(k^2+k)+1
だから，整数を2乗した数は4で割った余りが0または1になります。
a，bのどちらも2の倍数でないとすればa^2+b^2を4で割った余りは2になりますから，a^2+b^2=c^2が成り立つことはありません。したがってa，bのうち少なくとも1つは2の倍数です。

これでabが6の倍数であることが分かりました。

補足

この問題は合同式を使わずに証明したほうが簡単ですか？

回答No.1

tmppassenger

a, bの少なくとも一方が偶数であることを示せばよいから、a, bが共に奇数であるとして矛盾を示せば良い。
a, bが共に奇数の時、a^2 + b^2を4で割った余りは2となるので、cは偶数でなければならないが、そうするとc^2は4で割り切れてしまうので矛盾する。細かい所は式を立てて検証してください。