∫a^2 / ( x^2 + a^2 ) ^(3/2)dx の計算

質問

∫a^2 / ( x^2 + a^2 ) ^(3/2)dx を計算できませんでした。
結果は　x / (x^2 + a^2)^(1/2) となるのですが、何で置換をしたのかが
分かりません。

ちなみに前の質問は私のミスで投稿してしまいました。

回答No.2

sanori · ベストアンサー

こんばんは。

考え方としては、
ｘ^2　＋　ａ^2　という一つの式をセットとして、
ａ^2（何かの三角関数^2　＋　１）
が簡単になるような三角関数を選択します。

すなわち、
ｘ　＝　ａtanθ　＝　ａsinθ／cosθ　と置きます・・・

・・・とは言ってはみたものの、私自身、最後まで計算してみないと、その考え方でよいのか自信がないので、計算してみました。

微分公式　（tanθ）’＝　１／（cosθ）^2
ｄｘ　＝　ａ・ｄθ／（cosθ）^2

また、
ｘ^2　＋　ａ^2　＝　（ａ^2・（tanθ）^2　＋　ａ^2）
　＝　ａ^2（（tanθ）^2　＋　１）
　＝　ａ^2（（sinθ／cosθ）^2　＋　（cosθ／cosθ）^2）
　＝　ａ^2（１／（cosθ）^2）
　＝　ａ^2／（cosθ）^2

よって、
与式　＝　∫a^2 / ( x^2 + a^2 ) ^(3/2)dx
　＝　∫ａ^2／（ａ^2／（cosθ）^2）^3/2・ａ・ｄθ／（cosθ）^2
　＝　∫ａ^2／（ａ^3／（cosθ）^3）・ａ・ｄθ／（cosθ）^2
　＝　∫cosθ・ｄθ
　＝　sinθ　＋　Ｃ

ここで、sinθ　をｘを用いて表すには・・・
-------------------------------------
１／（tanθ）^2　＝　（cosθ）^2／（sinθ）^2
　＝　（１　－　（sinθ）^2）／（sinθ）^2
　＝　１／（sinθ）^2　－　１

１／（tanθ）^2　＋　１　＝　１／（sinθ）^2

よって、
（sinθ）^2　＝　１／（１／（tanθ）^2　＋　１）

ｘ　＝　ａtanθ　と置いていたので、（tanθ）^2　＝　（ｘ／ａ）^2

（sinθ）^2　＝　１／｛（ａ／ｘ）^2　＋　１｝
-------------------------------------

よって、
与式　＝　１／｛（ａ／ｘ）^2　＋　１｝^(1/2)　＋　Ｃ

分母と分子にｘをかけて
与式　＝　ｘ／｛ａ^2　＋　ｘ^2｝^(1/2)　＋　Ｃ

以上、ご参考になりましたら幸いです。

回答No.1

Tacosan

「何で」は意味として 2通り取れるんだけどどっちでしょうか:
・x を「何で」置換したのか, という意味なら, この分母の形だと大体お約束として tan.
・「どういう理由で」という意味なら, 「置換したほうが簡単な式になると思える」から.