【問題】∫[x^3/{(x-1)^3(x-2)}]dx を計算せよ。

質問

【問題】∫[x^3/{(x-1)^3(x-2)}]dx を計算せよ。
部分分数に分けることができませんでした＾＾；
そこから手も足もなくて…

どなたかよろしくお願いします。

回答No.3

info22_ · ベストアンサー

#1です。

A#1の補足について

>x^3/{(x-1)^3*(x-2)}=a/(x-1)+b/(x-1)^2+c/(x-1)^3+d/(x-2)とおいて、
>a(x-1)^5*(x-2)+b(x-1)^4*(x-2)+c(x-1)^3*(x-2)+d(x-1)^6=X^3という方程式を得ました。
両辺に(x-1)^3*(x-2)}を掛けたらなぜ↑の式になるのですか？
正しくは
x^3=a(x-1)^2*(x-2)+b(x-1)*(x-2)+c*(x-2)+d(x-1)^3　…(■)
です。
x=2とおいて　d=8
x^3=a(x-1)^2*(x-2)+b(x-1)*(x-2)+c*(x-2)+8(x-1)^3
最後の項を左辺に移項
x^3-8(x-1)^3=a(x-1)^2*(x-2)+b(x-1)*(x-2)+c*(x-2)
x^3-8(x-1)^3=-(x-2)(7x^2-10x+4)なので両辺を(x-2)で割って
-(7x^2-10x+4)=a(x-1)^2+b(x-1)+c
x=1とおいて　c=-1
左辺のcの項を左辺に移項
-(7x^2-10x+3)=a(x-1)^2+b(x-1)
左辺=-(x-1)(7x-3)なので両辺を(x-1)で割って
-(7x-3)=a(x-1)+b
x=1とおいて　b=-4
-7x+3=ax-a-4
x=0とおいて　a=-7

これで部分分数展開ができるので積分ができるでしょう。

部分分数展開の別解）
(■)の式の右辺を展開して
x^3=(a+d)x^3+(-4a+b-3d)x^2+(5a-3b+c+3d)x-2a+2b-2c-d
これは恒等式なので各次の係数を比較して
1=a+d
0=-4a+b-3d
0=5a-3b+c+3d
0=-2a+2b-2c-d
この連立方程式を解けば
a=-7,b=-4,c=-1,d=8
と求まります。

お礼

わかりやすいご説明ありがとうございました＾＾w

回答No.2

alice_44

(x~3)/((x-2)(x-1)~3) =
A/(x-2) + B/(x-1) + C/(x-1)~2 + D/(x-1)~3
と置くことは、できましたか？
これが、出発点。

両辺に x-2 を掛けた後、
lim[x→2] の極限をとれば、
A の値が求まります。

次に、A/(x-2) を左辺へ移項してから、
z = x-1 で置換すれば、B,C,D は一気に解ります。

お礼

ありがとうございました＾＾

回答No.1

info22_

>部分分数に分けることができませんでした
やった計算を補足にお書きください。

展開すると次のようになります。
x^3/{(x-1)^3(x-2)}={8/(x-2)}-{7/(x-1)}-{4/(x-1)^2}-{1/(x-1)^3}

後は機械的に積分するだけですからやってみて下さい。

お礼

ありがとうございました＾＾

補足

x^3/{(x-1)^3*(x-2)}=a/(x-1)+b/(x-1)^2+c/(x-1)^3+d/(x-2)とおいて、
a(x-1)^5*(x-2)+b(x-1)^4*(x-2)+c(x-1)^3*(x-2)+d(x-1)^6=X^3という方程式を得ました。
そこでx=2を代入してd=8を決定しました。
そこからができません…。