∮[0→1](12x+12)/(x^3+8)dxの

質問

∮[0→1](12x+12)/(x^3+8)dxの値は何でしょうか。部分分数分解で12(x+1)/(x+2)(x^2-2x+4)まではできたのですが、(これも合ってるか怪しいですが...)ここから積分をしようとすると第2項がぐちゃぐちゃになります。(ちなみに第1項は(-1/16)log(3/2)になりました)よろしくお願いします。

回答No.1

jcpmutura · ベストアンサー

12x+12=(x+2)(x+8)-(x^2-2x+4)

∫[0→1](12x+12)/(x^3+8)dx
=∫[0→1](12x+12)/{(x+2)(x^2-2x+4)}dx
↓12x+12=(x+2)(x+8)-(x^2-2x+4)
↓だから
=∫[0→1]{(x+2)(x+8)-(x^2-2x+4)}/{(x+2)(x^2-2x+4)}dx
=∫[0→1](x+8)/(x^2-2x+4)dx-∫[0→1]1/(x+2)dx
=∫[0→1](x-1+9)/(x^2-2x+4)dx-∫[0→1]1/(x+2)dx
=∫[0→1](x-1)/(x^2-2x+4)dx+9∫[0→1]1/(x^2-2x+4)dx-∫[0→1]1/(x+2)dx
=(1/2)∫[4→3](1/t)dt+9∫[0→1]1/{(x-1)^2+3}dx-[log(x+2)]_[0→1]
=(1/2)[logt][4→3]+(3√3)∫[-π/6→0]dt-log(3)+log(2)
=(1/2)log(3)-log(2)+{(π√3)/2}-log(3)+log(2)
={(π√3)/2}-(1/2)log(3)

回答No.2

178-tall

御題。
　 1/2
　∫ 12(x+1)dx/{ (x+2)(x^2-2x+4) }
　　0

被積分式の和分解。
　12(x+1)/{ (x+2)(x^2-2x+4) } = A/(x+2) + (Bx+C)/(x^2-2x+4)　　…(1)
両辺に (x+2) を乗じて、
　12(x+1)/(x^2-2x+4) = A + (x+2)(Bx+C)(x-1)/(x^2+1)
x→-2 として、
　-1 = A
これを (1) へ放り込み、
　12(x+1)/{ (x+2)(x^2-2x+4) } + 1/(x+2) = (x^2+10x+16)/{ (x+2)(x^2-2x+4) }
　= (x+2)(x+8)/{ (x+2)(x^2-2x+4) } = (x+8)/(x^2-2x+4)
(つまり B = 1, C = 8)

被積分関数 -1/(x+2) + (x+8)/(x^2-2x+4) を、
　-1/(x+2) + (x-1)/(x^2-2x+4) + 9/(x^2-2x+4)
と分けて、
　　↓　原始関数
　-LN(x+2) + (1/2)*LN(x^2-2x+4) + (3√3)arctan{ (x-1)/√3 }
　　↓　定積分

初 2 項
　1/2
　 ［-LN(x+2) + (1/2)*LN(x^2-2x+4)］=
　 0
　= -LN(5/2)+LN(2)+(1/2){ LN(13/4)-LN(4) )
　= LN{ (5*√13)/2 }　　　　　　…(1)

末尾項
　1/2
　 ［ (3√3)arctan { (x-1)/√3) }
　 0
　= -(3√3){ arctan(1/√3)
　= (3√3){ (π/6)-(π/6)+arctan(√3/7) }
　= (3√3)arctan(√3/7)　　　　　　…(2)

Ans. (1)+(2)