増減表を書きグラフの概形を求める問題で

質問

y = x + √(1 - x^2)
の増減表を書き概形を求めよという問題なんですが、
この問題の解答を見ると
y' = 1 - x / (√(1 - x^2))
となっていて、
-1 < x ≦ 0 のとき y' > 0
0 < x < 1のとき・・・
としてx = 1 / √2
というようにして求めているのですが
なぜこの問題ではxの範囲で分けて考えているのでしょうか？
このように考えないと y' = 0のときx = +- 1 / √2
となってしまい、- 1 / √2 では y' = 0を満たしていないのでおかしいということは分かるのですが、どういったときにこのような考え方をすればいいか教えてください。

回答No.3

mister_moonlight

問題自体は、単純な問いかけなんだが、その裏では。。。。ｗ

条件式は　y - x ＝ √(1 - x^2)　であるから、y - x ≧0、and、（y - x ）＾2＝1 - x^2　→　2x＾2-2xy＋y＾2-1＝0　‥‥(1)

一般の2次方程式：ax＾2＋2hxy＋by＾2＋2gx＋2fy＋c＝0　において、この方程式は　Ｄ＝h＾2-abとすると、Ｄ＞0の時は　双曲線族、Ｄ＝0の時は　放物線族、Ｄ＜0　の時は楕円族を表す。

従って、これをこの問題に適用すると、Ｄ＜0より楕円族である事が分かる。
回転の公式から、旧座標を（x、y）、新座標を（α、β）とし、座標軸を原点の周りにθだけ回転したとすると、x＝α*cosθ－β*sinθ、y＝α*sinθ+β*cosθ　を(1)に代入して、xyの項が消えるのは、2cos（2θ）＋sin（2θ）＝0。
ここから、三角方程式を解いて、θの近似値を求める。
この近似値は自分で求めてよ。

Ａx＾2＋Ｂy＾2＝c　であるためには、係数ＡとＢは　2次方程式：t＾2-（a+b）*t＋（ab-h＾2）＝0の2解として求められるから、この問題では、a＝1、b＝2、h＝-2　であるから、t＾2＋3t-2＝0の2解。
これを解いて整理すると、（3-√17）*x＾2＋（3＋√17）*y＾2＝4　をθだけ回転した楕円となる。（但し、y - x ≧0）

と、言うのがこの問題に隠されている事。
まぁね、この問題を解くだけなら大して役に立つわけではないが、色々と問題と遊ぶと、つまらない問題も楽しくなる。