増減表を書きグラフの概形を求める問題で

質問

y = x + √(1 - x^2)
の増減表を書き概形を求めよという問題なんですが、
この問題の解答を見ると
y' = 1 - x / (√(1 - x^2))
となっていて、
-1 < x ≦ 0 のとき y' > 0
0 < x < 1のとき・・・
としてx = 1 / √2
というようにして求めているのですが
なぜこの問題ではxの範囲で分けて考えているのでしょうか？
このように考えないと y' = 0のときx = +- 1 / √2
となってしまい、- 1 / √2 では y' = 0を満たしていないのでおかしいということは分かるのですが、どういったときにこのような考え方をすればいいか教えてください。

回答No.6

info22 · ベストアンサー

#1です。
A#1の補足質問の回答

>> y'=0のとき x=1/√2　となります。
> どのように式変形すればこうなるのかを少し教えてもらいたい

> y' = 1 - x / (√(1 - x^2))
=0　から
x=√(1 - x^2) (x>0)
x^2=1-x^2
x^2=1/2
x>0　だから
x=1/√2

参考）グラフの外形図（黒線）をつけておきます。
青線は y' です。

回答No.5

mister_moonlight

計算ミスに気がついた。

（誤）この問題では、a＝1、b＝2、h＝-2　であるから、t＾2＋3t-2＝0の2解。これを解いて整理すると、（3-√17）*x＾2＋（3＋√17）*y＾2＝4　をθだけ回転した楕円となる。（但し、y - x ≧0）

（正）この問題では、a＝1、b＝2、h＝-1　であるから、t＾2＋3t＋1＝0の2解。これを解いて整理すると、（3＋√5）*x＾2＋（3-√5）*y＾2＝4　をθだけ回転した楕円となる。（但し、y - x ≧0）

お礼

ありがとうございます。
書いてある内容が難しくすぐには理解できないのでしっかり考えて見ますね。

回答No.4

htms42

ｙ＝ｘ＋√(１－ｘ^2)
は
ｙ＝ｘ　　　　　　　（１）
と
ｙ＝√(１－ｘ^2)　　（２）
とを足し合わせたものです。
（１）は原点を通る傾き１の直線、（２）は原点を中心とした半径１の円です。作図で概形を得ることが出来ます。
足し合わせた図形は傾きが２の方向に長軸のある楕円になるようです。
増減表は
－１≦ｘ＜１／√２
ｘ＝１／√２
１／√２＜ｘ≦１
の３つの領域に分けて考えます。

お礼

ありがとうございます。

回答No.3

mister_moonlight

問題自体は、単純な問いかけなんだが、その裏では。。。。ｗ

条件式は　y - x ＝ √(1 - x^2)　であるから、y - x ≧0、and、（y - x ）＾2＝1 - x^2　→　2x＾2-2xy＋y＾2-1＝0　‥‥(1)

一般の2次方程式：ax＾2＋2hxy＋by＾2＋2gx＋2fy＋c＝0　において、この方程式は　Ｄ＝h＾2-abとすると、Ｄ＞0の時は　双曲線族、Ｄ＝0の時は　放物線族、Ｄ＜0　の時は楕円族を表す。

従って、これをこの問題に適用すると、Ｄ＜0より楕円族である事が分かる。
回転の公式から、旧座標を（x、y）、新座標を（α、β）とし、座標軸を原点の周りにθだけ回転したとすると、x＝α*cosθ－β*sinθ、y＝α*sinθ+β*cosθ　を(1)に代入して、xyの項が消えるのは、2cos（2θ）＋sin（2θ）＝0。
ここから、三角方程式を解いて、θの近似値を求める。
この近似値は自分で求めてよ。

Ａx＾2＋Ｂy＾2＝c　であるためには、係数ＡとＢは　2次方程式：t＾2-（a+b）*t＋（ab-h＾2）＝0の2解として求められるから、この問題では、a＝1、b＝2、h＝-2　であるから、t＾2＋3t-2＝0の2解。
これを解いて整理すると、（3-√17）*x＾2＋（3＋√17）*y＾2＝4　をθだけ回転した楕円となる。（但し、y - x ≧0）

と、言うのがこの問題に隠されている事。
まぁね、この問題を解くだけなら大して役に立つわけではないが、色々と問題と遊ぶと、つまらない問題も楽しくなる。

回答No.2

rnakamra

別にいきなりy'=0として方程式を解いても問題はありません。
今回の関数は-1<x<1で何回でも微分可能ですのでy'はこの範囲内で連続関数ですので値が飛んだりしませんから何も注意することはありません。

ただ、その途中で両辺を2乗することになります。
y'=0→x=√(1-x^2)　
両辺を2乗すると本来解でないものが新しい方程式の解として現れてしまうのでそれを避けただけと思われます。
(簡単に言うとx=aの両辺を2乗するとx^2=a^2,この方程式の解はx=a,-aとなりもとの方程式の解でないx=-aが現れてしまう。)

補足

確かに2乗してしまったせいで y' = 0の解が+-になってしまったようです。
この問題では0 < x < 1のとき・・・ としているので
x > 0 なので
として-を除いていますが一般的にはどのようにしてこうなることを避けるのでしょうか？

回答No.1

info22

>この問題の解答を見ると
>-1 < x ≦ 0 のとき y' > 0
>0 < x < 1のとき・・・
>としてx = 1 / √2
>というようにして求めているのですが
>なぜこの問題ではxの範囲で分けて考えているのでしょうか？

解答の範囲のわけ方は間違っています。

> y' = 0のときx = +- 1 / √2
y'=0のとき x=1/√2　となります。
このxの上下で場合分けをしてやります。

-1 < x <1/√2 のとき y' > 0　（この範囲でグラフは単調増加）
1/√2 < x < 1のとき y' < 0　（この範囲でグラフは単調減少）

x = 1 / √2のとき y'=0
　このときy=√2(極大値＝最大値)

補足

ありがとうございます。

＞y'=0のとき x=1/√2　となります。
どのように式変形すればこうなるのかを少し教えてもらいたいのですがいいでしょうか？