パーシバルの等式の証明

質問

パーシバルの等式をフーリエ級数の複素スペクトルから導出したいです。

<v^2>=(1/T)∫0→T(v^2(t))dt=Σ-∞→∞|Ck|^2

ここでT：周期
Ck:複素スペクトル
v^2(t)＝｛(A0/2)+Σ-∞→∞(Cn)exp(j2nπft)｝*
｛(A0/2)+Σ-∞→∞(Cm)exp(j2mπft)｝として
求めたいです。
v^2をnとmの2つを掛け合わせたものとして代入して解くのですが、
展開して、それぞれ積分する際、n,mの積が出てくる項の積分
（ΣΣ∫0→T(CmCn)exp(j2πf(m+n)t)dt）
がよくわかりません。この場合nとmにどのような条件を与えて解けばいいのでしょうか？

よろしくお願いします。

回答No.1

PRFRD · ベストアンサー

被積分関数に出てくる関数
　exp(j2πf(m+n)t)
は，m+n ≠ 0 のとき，t に関する平均ゼロの周期関数です．
（単位円を回りながら足し合わせるイメージ）．

なので，その式では m+n ≠ 0 の項は積分するとゼロになるので
　ΣΣ∫C(m)C(n) exp(j2πf(m+n)t)dt
　= Σ[m=-∞,∞] ∫[0,T] C(m)C(-m) dt
　= T Σ[m=-∞,∞] |C(m)|^2
となって，目標の式が出てきます．
ただし，最後の等号では，実数値関数のフーリエ級数展開
　v = Σ[n=-∞,∞] C(n) exp(j2πnft)
において，C(-n) が C(n) の共役複素数であることを使っています．

お礼

おかげさまで、解をもとめることができました。
どうも、ありがとうございました！