力学の問題 やり直し２

質問

問題をもう一度解いたのですが答えに至りません
ヒントをお願いします

問題
質量ｍの１次元の運動を考える。質量にはポテンシャル

Ｖ＝{０（ｘ＜０）　　
　　{-V0(０≦ｘ)
から導かれる力が作用される。質点はｖ０（ｖ０＞０）で負領域から入射しｖ’でｘの正領域にでていったとする。

ポテンシャルＶから導かれる力は撃力Ｆ＝-V/dx=V0δ（x）となる。
δ（x）はDiracのデルタ関数である。ニュートンの運動方程式 m d^2(x(t))/dt^2=V0δ（x(t)）を解いてｖ’を求めよ

回答
m d^2(x(t))/dt^2=V0δ（x(t)）
両辺をｔで積分して区間を（-∞から∞）
m(v'-v0)=V0
v'=v0+V0/m

としたのですが、diracのデルタ関数より積分区間は（-∞から∞）としてよいのかと、右辺をｔで積分したときにV0δ（x(t)）のδ（x(t)）がどのように積分されるかわかりません。おねがいします

回答No.2

noname#161582 · ベストアンサー

#1です。
計算ミスがありました。

最後の式の左辺は項の順序が逆でした。正しくは、

v ' ^2-v0^2

でした。

お礼

なるんほどそのような変形をやるのですね
ありがとうございます

回答No.1

noname#161582

運動方程式をtで積分するのは難しいので、
以下のようにすこし工夫します。

まず運動方程式

dv/dt=V0δ(x(t)）

の両辺にvをかけます。

v*dv/dt=1/2*d(v^2)/dt=V0*(dx/dt)*δ(x(t))

dtをはらって

d(v^2)=2V0δ(x)dx

右辺の変数がxになったので、簡単に積分できて

v0^2-v'^2=2V0

を得ます。

なお、簡単のためm=1としました。