力学の問題を教えて欲しいです。

質問

以下に書いた問題の、F=Mdv/dt+mu を使った解法を知りたいです。ちなみに、F：力のベクトル、M：質量、v：速度ベクトル、t：時間、m：単位時間あたりに切り離す部分の質量、u：本体に対する切り離した部分の相対速度ベクトル です。

机の端にかたまっている線密度dの鎖の一端がずれて、とけて落ちだした。鎖がxだけ垂れ下がった時の、速度vと加速度aを求めよ。また、力学的エネルギーの変化Eはどれだけか。ただし、鎖の輪は十分に小さく、１個１個順々に運動を始めるものとする。

回答No.1

boobee0125 · ベストアンサー

線密度の d は微分記号と紛らわしいので勝手ながらここでは e とさせていただきます。また１階微分、２階微分をそれぞれ ' および " で表します。また下記の (2)式は右辺にて u = -x'、m = -dM/dt と置けば F = Mdv/dt + mu と同じになります。

[解答]
落ちている部分の長さが x のときの質量は　

M = e・x　------------- (1)

また、力積 = 運動量の変化　から

F・dt = Mg・dt = d(M・x')
⇔
Mg = (d/dt)(M・x') = M'・x' + M・x" ---------- (2)

(1)→(2) より

e・x・g = e・(x')^2 + e・x・x"
⇔
x・x" + (x')^2 - x・g = 0 --------------- (3)

ここで x が下記の様に t の２次式で表せるものと仮定する。

x = A・t^2 + B・t + C -------------------- (4)

初期条件：t=0 で x = x' = 0 から B = C = 0 となるので

x = A・t^2 ------------- (5)
x' = 2A・t ------------- (6)
x" = 2A ------------- (7)

となり、これらを(3)に入れて

A・t^2・2A + (2A・t)^2 - A・t^2・g = 0
⇔
6A - g = 0
⇔
A = g/6 ------------------ (8)

これを (5) に入れて

x = (g/6)・t^2 ----------- (9)

を得る。これより

t = √(6・x/g) ------------- (10)

となるので、(8)、(10)→(6) から

速度 v = x' = (2g/6)・√(6・x/g) = (1/3)・√(6g・x)　---- (11)

を得る。また (8)→(7) より

加速度 a = x" = 2A = g/3 --------- (12)

を得る。

(答え)
速度 v = (1/3)・√(6g・x)
加速度 a = g/3

お礼

どうもありがとうございました。
なかなか答えが得られなくて困っていたので助かりました。