ランダウ「力学」p32の練習問題が解けなくて困っています．

質問

ランダウ「力学」p32の練習問題が解けなくて困っています．
問題は次の通りです:

次の各ポテンシャル・エネルギーの場の中で，質量mの質点が運動しているとき，その振動の周期をエネルギーの関数として表わせ．
(b) U=-U_0/(coshαx)^2, -U_0<E<0
(c) U=U_0(tanαx)^2

それぞれの答えは，
(b) T=(π√(2m))/(α√|E|)
(c) T=(π√(2m))/(α√|E+U_0|)
です．

T=2√(2m)∫dx/√(E-U(x)) (積分範囲は0からU=Eの正の解まで)で求めるのだろうと思うのですが，積分が上手く出来ません．
宜しくお願いします．

回答No.1

yokkun831

与えられたポテンシャルの下での振動の周期を求めるにあたって，次の積分公式が役に立ちます。

∫[a～b]dx/√{ (x-a)(b-x) } = π

s = √(x-a) とでもおけば，簡単に導出できますのでやってみてください。

以下おおまかな流れのみ示します。

(b)

T = 2√(2m/|E|)∫[0～x1] coshαxdx/√( U0/|E| - cosh^2αx )
= 2√(2m/|E|)×I

と整理します。ただし，cosh^2αx1 = U0/|E|
u = cosh^2αx とおくと，
I = 1/(2α)∫[1～u1]du/√{(u-1)(u1-u)} = π/(2α)
ただし，u1 = U0/|E|

∴T = √(2m/|E|)×π/α

(c)

T = 2√(2m)∫[0～x1]dx/√{ E - U0(sec^2αx - 1) }
= 2√{2m/(E+U0)}∫[0～x1]cosαxdx/{cos^2αx - U0/(E+U0)}
= 2√{2m/(E+U0)}×I

と整理します。ただし，cos^2αx1 = U0/(E+U0)
u = cos^2αx とおくと，
I = 1/(2α)∫[u1～1]du/√{(u-u1)(1-u)} = π/(2α)
ただし，u1 = U0/(E+U0)

∴T = √{2m/(E+U0)}×π/α

となると思います。
なお，振動が起こる条件から，E>U>0ですから，E+U0>0は明らかです。