証明

質問

次の問題がさっぱりわかりません。

下の図の角度xを求めなさい。
△ABCは直角二等辺三角形。

そして解答がこれ。

次のように正三角形PACができるように補助線を引き、PとB、Dをそれぞれ結びます。

△ABPは二等辺三角形より、∠APB＝15°
また、∠QAP＝15°より、△QAPも二等辺三角形と言えます。従って、QA=QP
また、∠QBD＝15°より、△QBDも二等辺三角形と言えます。従って、QB=QD
よって、△QAB≡△QPDがいえます。従って、AB=PD、∠PDA=15°
また、∠DRC=∠BCR=105°より∠RPD=105°－15°＝90°
△PCDが直角二等辺三角形となり、∠PCD=45°より　∠ACD=105°となります。
△PCDが直角二等辺三角形となることがポイントですね。

とありました。

△ABPは二等辺三角形より、∠APB＝15°とありますが　なぜですか・・？（∠PABの角度がはっきりしていない気がする。またはちがう方法で割り出せるのか。）
また、∠QAP＝15°　、∠QBD＝15°と述べていますがこれもまたなんでそうなるのか。

だれか教えてくれたら助かります。

回答No.2

m07136 · ベストアンサー

∠APB＝15°について
正三角形PACができるように補助線を引きましたね?
ということは三角形PACの角は全て60度になります。
そうすると∠PABはわかりますよね。
△ABPは二等辺三角形なので∠APB＝15°とでます。

∠QAP＝15°について
まず、∠BCAはわかりますね（△ABCが直角二等辺三角形だから）
ということは錯覚である∠CADがわかります。
∠QAP＝∠CAP－∠QAPとなるので
∠QAP＝15°が確定します。

∠QBD＝15°について
∠QBD＝∠ABC－∠DBC－∠ABPで求められます。
∠ABCは△ABCが直角二等辺三角形だからわかりますね。
∠ABPは△ABPが二等辺三角形だからわかりますね。

以上簡単に解説しました。
わからないことがあったら気軽に質問してください。

お礼

わかりやすい説明ありがとうございます。
なんとか解答の説明は理解できましたが自分的にはそこに正三角形をつくるなんていう思いつきがまったくなく頭が混乱しその状態で解答をみたのでさらに混乱しました。
これからもがんばって数学勉強します。

回答No.1

simaku

∠CAPは正三角形より60°よって∠BAPは150°
よって、∠APB＝15°
∠CADは45°なので（平行線の錯角）∠QAP＝15°
∠QBDは45-15-15で15°

お礼

なるほど・・・　目からうろこです。ありがとうございます。