要は、g(x) = a_n x^n + a_{n-1} x^{n-1} + ... a_0 とおいた時、g(c) = 0となる ある複素数 c があることを言いたいのですが、証明のoutlineはこうです。
(1) f(x) = |g(x)| とおくと、f(x)は ある複素数 cで最小値を取る。
(2) f(c) > 0と仮定すると、 ある複素数dが存在して f(d) < f(c)となる。これはf(c)がf(x)の最小値であることに反するから、f(c) = 0である。
(3) f(c) = |g(c)| = 0であるから、 g(c) = 0である。従ってg(x) = 0は解x=cを持つ。
で、(1)の更なるoutlineがこうです。
(1)-a ある正の実数 R>0が存在し、 |x| ≧ R ならば f(x) ≧ f(0) = |g(0)| となる。（これがwikipediaの「いくらでも大きく出来る」という文の意味）
(1)-b このRに対し、 T = {z | zは複素数, |z|≦R} はcompact集合だから、f(x)はT上最小値を取る。仮にx = cで最小値を取るとすると、 x∈Tならば f(x) ≧ f(c)。
特に 0∈Tであるから、f(0)≧f(c)。
(1)-c 一方、(1)-aで言った事から、x ∉Tならば f(x)≧ f(0) ≧ f(c)。
(1)-d 従って、任意の複素数xに対して f(x) ≧ f(c)。即ち f(c)は f(x)の最小値である。
outlineはこうです。ここで (1)-a、(2)の内容は更に細かい証明が必要です。
お礼
誠に有難う御座います。
補足
この証明を、和田博・先生が御発明なさった、新しい、結合法則も常に成り立つ多元数に関する定理に拡張できますでしょうか。（絶対値をノルムに直して。）和田先生の御本は、アマゾンその他で見られます。 https://www.amazon.co.jp/gp/customer-reviews/RGKDRF41M1Q6A?ref=pf_vv_at_pdctrvw_srp