合成関数

質問

f(x)= 2x+1 (-1≦x≦0)
f(x)=-2x+1 (0≦x≦1)のように定義された関数について

y=(f・f)(x)についてどうやって求めたらいいですか？
解答には
-1≦f(x)≦0
(f・f)(x)=2f(x)+1
0≦f(x)≦1
(f・f)(x)=-2f(x)+1
となっているんですがどうしてこうなるんですか？式は途中までです。

回答No.10

arrysthmia · ベストアンサー

＞ 何でわざわざ小文字のxを大文字のXに置き換えるんですか？

小文字の x を大文字の X に置き換えたのではなく、
小文字の x が表すものと大文字の X が表すものは別のものです。
X の中身は f(x) ですからね。
別のものだから、同じ文字で書いてはいけないのです。
二つの意味がゴッチャになってしまいますから。
x 以外の文字なら、a でも u でも何でも構いません。
No.5 では、u と置いてみました。

回答No.9

info22

#3,#6,#7,#8です。
A#8の補足の質問の回答

>何でわざわざ小文字のxを大文字のXに置き換えるんですか？
そんな基本的なことも分からないですか？

X=f(x)
を
x=f(x)
と置けないからに決まっているからだろう。
だけどXは変数なのでaなどと定数に使われる文字なをは使えないだろう。

回答No.8

info22

#3,#6,#7です。

A#7の補足の質問について

この質問の回答はA#7の回答を繰り返し読んで定義式とA#3の図を参考にして
じっくり考えて頂けば、A#7が理解できるようになると思います。
それができれば、A#7の補足の質問の前半のことが正しく、後半が正しくないことの疑問が解決すると思います。
質問者さんの頭の中の整理がうまくできていない間は、疑問は解決しないでしょう。何度も繰り返しA#7の回答を読んでいただくとあるとき突然理解できるようになると思います。

考えるのに役立つかは分かりませんが、
x→f(x)→f(f(x))と写像される場合の相互の値域がどう移っていくかを図に表した解説図を下に付けておきます。

補足

何でわざわざ小文字のxを大文字のXに置き換えるんですか？

回答No.7

info22

#3,#6です。
A#6の補足の質問の回答
> -1≦f(x)≦0のとき
> f(f(x))=2f(x)+1
> になるんですか？
> そこがわかりません
そうなります。

X=f(x),f(X)=f(f(x))とおくと
> -1≦f(x)≦0のとき
これは「-1≦X≦0のとき」となり
> f(f(x))=2f(x)+1
これば「f(X)=2X+1」となりますね。
つまり、
-1≦X≦0のとき　f(X)=2X+1
ですね。
これは定義式
> f(x)= 2x+1 (-1≦x≦0)
x=Xとおいただけで、定義そのものですね？

お分かりですか？

お礼

知りたいのはどうして-1≦f(x)≦0のとき
f(f(x))=2f(x)+1になって

0≦f(x)≦1のとき
f(f(x))=-2f(x)+1になるのかってことです。
例えば、
-1≦f(x)≦0のとき
f(f(x))=-2f(x)+1

0≦f(x)≦1のとき
f(f(x))=2f(x)+1
にはどうしてならないのですか？

補足

よくわかりません

回答No.6

info22

#3です。
A#3の補足の質問の回答
>-1≦x≦0のとき
>f(f(x))=2f(x)+1になるんですか？
なりません。
この式は-1≦f(x)≦0の式です。
このf(x)の不等式を満たすxの範囲は
-1≦x≦-1/2 および 1/2≦x≦1の範囲ですから
「-1≦x≦0のとき」は間違いです。
この範囲で考えるなら
-1≦x≦-1/2の範囲でしか満たしません。

>上の範囲のとき
>f(f(x))=-2f(x)+1ではダメ何ですか？
これでも駄目です。
範囲を2つに分割した
-1/2≦x≦0の範囲では「f(f(x))=-2f(x)+1」ですが
-1≦x≦-1/20の範囲では「f(f(x))=2f(x)+1」となります。

同様に
0≦x≦1の範囲を一括で扱って駄目で
0≦x≦1/2 と 1/2≦x≦1
の2つに分けて考えないといけないですね。

補足

-1≦f(x)≦0のとき
f(f(x))=2f(x)+1
になるんですか？
そこがわかりません

回答No.5

arrysthmia

A No.2 のセンで、丁寧に計算してみたらどうですか？

y = f( f(x) ) ということは、f( ) の定義より、

y = 2 u + 1　(-1 ≦ u ≦ 0)
y = -2 u + 1　(0 ≦ u ≦ 1)

u = 2 x + 1　(-1 ≦ x ≦ 0)
u = -2 x + 1　(0 ≦ x ≦ 1)

ということですね。上２本の式に含まれる u の場合分けを、
下２本の式を使って x の場合分けに翻訳すれば、
解答例にある f( f(x) ) の式が得られます。

No.4 補足の式は、u を f(x) のまま書いているだけです。

回答No.4

nayamumono

#1 です。質問のいみが#３の補足でわかりました。

補足の回答ですが#３の画像を使って説明します。

f(x)= 2x+1 (-1≦x≦0)
f(x)=-2x+1 (0≦x≦1)　は図では黒の線です。

-1≦x≦0のとき
f(f(x))=2f(x)+1になります。しかし、f(f(x))=-2f(x)+1にはなりません。
いまやっていることは、-1≦x≦0のときと範囲指定しているのに0≦x≦1の範囲のf(x)を使っているからです。

2次関数の場合分けを思い出したらわかると思います。

補足

解答には
-1≦f(x)≦0
f(f(x))=2f(x)+1

0≦f(x)≦1
f(f(x))=-2f(x)+1
となっているんですが、どうして値域の場合分けでこうなるかを知りたいんです。

回答No.3

info22

f(x)= 2x+1 (-1≦x≦0)
f(x)=-2x+1 (0≦x≦1)

(f・f)(x)=f(f(x))
◆ -1≦f(x)≦0のの場合 →f(f(x))=2f(x)+1
　(A)-1≦x≦-1/2の時　→ f(x)=2x+1なので → f(f(x))=2(2x+1)+1
　(B)1/2≦x≦1の時 → f(x)=-2x+1なので→ f(f(x))=2(-2x+1)+1

◆ 0≦f(x)≦1のの場合 →f(f(x))=-2f(x)+1
　(C)-1/2≦x≦0の時　→ f(x)=2x+1なので → f(f(x))=-2(2x+1)+1
　(D)0≦x≦1/2の時 → f(x)=-2x+1なので→ f(f(x))=-2(-2x+1)+1

後は(A),(B),(C),(D)で場合分けしてf(f(x))の式を整理するだけ
以下の通り。境界の等号は重複するのでどちらかに移した方がいいですね。
(A)-1≦x≦-1/2の時 f(f(x))=4x+3
(B)1/2≦x≦1の時 f(f(x))=-4x+3
(C)-1/2≦x≦0の時　f(f(x))=-4x-1
(D)0≦x≦1/2の時 f(f(x))=4x-1
y=(f・f)(x)=f(f(x))をグラフにすると下図のようになります。

補足

-1≦x≦0のとき
f(f(x))=2f(x)+1になるんですか？
上の範囲のとき
f(f(x))=-2f(x)+1ではダメ何ですか？

回答No.2

noname#101087

>f(x)= 2x+1 (-1≦x≦0) ......のように定義された関数について y=(f・f)(x)についてどうやって求めたらいいですか？
>解答には
>-1≦f(x)≦0
>(f・f)(x)=2f(x)+1 ...... となっているんですがどうしてこうなるんですか？

#1 さんと同じ趣旨ですけど ..... 文字を変えてみれば困惑せず済むのかも。

　(f・f)(x) = f(f(x))
なので、
　f(u)= 2u+1 (-1≦u≦0)
の u に f(x) を代入すると、
　f(f(x)) = 2f(x)+1 (-1≦f(x)≦0)

…てな調子じゃ、やはり不可解？

回答No.1

nayamumono

一度教科書を読みましょう。
記号のいみがわかっていないようです。
たとえば、（ｆ・ｇ）（ｘ）＝ｆ（ｇ（ｘ））です。

これで、解けると思いますが記号の意味がわからないとこれから受験でこまるとおもいますので教科書を読む癖と読み直す癖をつけてください。

補足

そのぐらいはわかってます。聞きたいのはどうして、後半に書いてあるようになるかです。