合成関数質問：（大学受験）

質問

今、合成関数の分野を勉強していますがわからない問題があります。これは大学受験用参考書に載っている問題です。どなたかおわかりになる方がいらっしゃれば教えていただきたいと思います。宜しくお願いいたします。

0＜＝x＜＝1で定義された関数f(x)= ｜2x-1｜について、y=f(f(x))のグラフをかけ。という問題です。

解答は
y=f(x)のグラフより
1/2＜＝f(x)＜＝1となるのは、0＜＝x＜＝1/4, 3/4＜＝x＜＝1のとき
0＜＝f(x)＜1/2となるのは、　1/4＜x＜3/4のとき。
したがって
y=f(f(x))= ｜2f(x)-1｜=
2f(x)-1 (0＜＝x＜＝1/4,3/4＜＝x＜＝1)
-2f(x)+1 (1/4＜x＜3/4)
とあります。
ですが、「したがって」以降どうしてこうなるのか、どうしてこのようなことをするのかがわかりません。範囲が関係しているのだとは思うのですが…。

私は、f(x)= 2x-1(1/2＜＝x＜＝1),f(x)= -2ｘ+1（0＜＝x＜1/2）
としたあと、(1/2＜＝x＜＝1)のとき、f(f(x))＝ 2x-1=2(2x-1)-1
（0＜＝x＜1/2）のときf(f(x))= -2ｘ+1=-2(-2ｘ+1)+1としましたが、1/2の点で不連続のグラフとなってしまいました。ですが、どうして解答のように1/4や3/4の点で範囲をわけないといけないのかわかりません。

私の勉強不足なのですが質問する人がいないため、困っています。どなたかご存知の方がいらっしゃれば、教えていただきたいと思います。また説明不足の点があれば補足させていただきますので宜しくお願いいたします。

回答No.4

ZeusSeesSuez · ベストアンサー

まず、
｜2x-1｜＝2x-1(1/2≦x≦1),-2x+1(0≦x＜1/2)
ここでx→f(x)と置き換えると、
｜2f(x)-1｜＝2f(x)-1(1/2≦f(x)≦1),-2f(x)+1(0≦f(x)＜1/2)
でしょ。このf(x)の範囲をxで表すと
1/2≦f(x)≦1となるのは、0≦x≦1/4,3/4≦x≦1
0≦f(x)＜1/2となるのは、1/4＜x＜3/4
になる、と言うとるわけだ。したがって、
｜2f(x)-1｜＝
2f(x)-1＝2｜2x-1｜-1(0≦x≦1/4,3/4≦x≦1),
-2f(x)+1＝-2｜2x-1｜+1(1/4＜x＜3/4)
となる。あとは一番最初の式を使って絶対値を外せば、
2｜2x-1｜-1＝
2(-2x+1)-1＝-4x+1(0≦x≦1/4),
2(2x-1)-1＝4x-3(3/4≦x≦1)
もうひとつは、
-2｜2x-1｜+1＝
-2(-2x+1)+1＝4x-1(1/4＜x＜1/2),
-2(2x-1)+1＝-4x+3(1/2≦x＜3/4)
で、以上をまとめて、
y＝
-4x+1(0≦x≦1/4),
4x-1(1/4＜x＜1/2),
-4x+3(1/2≦x＜3/4),
4x-3(3/4≦x≦1)
なので、Ｗ字型のグラフができるよ。

「goodo」さんの手順で言うと
(1/2≦x≦1)のとき、
f(f(x))＝f(2x-1)＝2(2x-1)-1じゃなくて｜2(2x-1)-1｜なので、
この絶対値を外すためにもう１回場合分けが必要なんだな。

お礼

ZeusSeesSuezさま、早速ご回答いただきありがとうございました。みなさんのご回答を読んでもいまいちわからなかったのですが、「ここでx→f(x)と置き換えると」というので、なるほどと思いました。何度かグラフを書きながらみなさんのご回答を参考にやってみました。やっと理解することができました。またお聞きすることもあると思いますが、よろしくお願いします。ありがとうございました。

回答No.3

shkwta

No.2の最後の３行の不等号を訂正します。
1/2≦x＜3/4
3/4≦x≦1

回答No.2

shkwta

＞私は、f(x)= 2x-1(1/2＜＝x＜＝1),f(x)= -2ｘ+1（0＜＝x＜1/2）

ここは正しいのですが、これに続く部分が落とし穴です。

＞としたあと、(1/2＜＝x＜＝1)のとき、f(f(x))＝ 2x-1=2(2x-1)-1

f(x)= 2x-1 (1/2≦x≦1)　と決めたのが、そのまま２回目のf（左側のf)にも使えると考えたのがまちがいです。１回目のf（右側のf)には使えますが。
2回目のfは、xでなくf(x)を使って、

(1/2≦f(x)≦1)　のときに f(f(x)) = 2f(x)-1
(0≦f(x)＜1/2) のときに f(f(x)) = -2f(x)+1

としなければなりません。

だから、本当は、１回目のf, ２回目のfをそれぞれ＋－に場合分けして、４区間に分けないといけません。
(0≦x＜1/2) かつ (1/2≦f(x)≦1)：　f(f(x)) = 2(-2x+1)-1
(0≦x＜1/2) かつ (0≦f(x)＜1/2)：　f(f(x)) = -2(-2x+1)+1
(1/2≦x≦1) かつ (0≦f(x)＜1/2)：　f(f(x)) = -2(2x-1)+1
(1/2≦x≦1) かつ (1/2≦f(x)≦1)：　f(f(x)) = 2(2x-1)-1

これらは、上から順に
0≦x≦1/4
1/4＜x＜1/2
1/2≦x≦3/4
3/4＜x≦1
であることはすぐわかるでしょう。

お礼

shkwtaさま、早速ご回答いただきありがとうございました。私はまんまと落とし穴にはまってしまったのですね。ｆ（ｘ）の範囲で場合わけをしないといけなかったのですね。みなさんに教えていただいたのを参考に早速やってみました。なんとか理解することができました。ありがとうございました。

回答No.1

sunasearch

f(x)の定義域は、0＜＝x＜＝1ですから、
y=f(f(x))においては、0＜＝f(x)＜＝1
となります。

また、
y=f(f(x)) = |2f(x)-1|となることから、
絶対値の中身が正か負かで場合分けする必要がありますので、
0＜＝f(x)＜1/2　と　1/2＜＝f(x)＜＝１で場合分けする必要があります。

ここで、y=f(f(x))の　xとyの関係のグラフを描くためには、
上記の場合分けに相当するxの範囲を知る必要があります。
そのため、「したがって」以降の操作が必要になるのです。

goodoさんがお示しの手順では、

f(x)= 2x-1(1/2＜＝x＜＝1)のときは、0<=f(x)<=1
f(x)= -2ｘ+1（0＜＝x＜1/2）のときも、0<=f(x)<=1

となり、ここから
y=f(f(x)) = |2f(x)-1|の絶対値を外すための場合分けを、
再び行なう必要があります。

すなわち、場合分けの効率が悪くなるため、
前者の解答になるのだと思います。

お礼

sunasearch様、さっそくご回答いただきありがとうございました。一度目に場合わけした後、ｘをｆ（ｘ）に置き換えて、範囲を求めるのですね。何度かやり直して、やっとわかりました。ありがとうございました。またお聞きすることもあると思いますがよろしくお願いします。