さいころを４回投げて、その和が５の倍数になるのは何通りか？

質問

参考書に、さいころを４回なげて、その和が６の倍数になるのは何通りか…という問題がありました。
その解答は、
　１～３回目までの和が６の倍数のとき、４回目は６
　１～３回目までの和が６で割ると１余るなら、４回目は５
　１～３回目までの和が６で割ると２余るなら、４回目は４
　１～３回目までの和が６で割ると３余るなら、４回目は３
　１～３回目までの和が６で割ると４余るなら、４回目は２
　１～３回目までの和が６で割ると５余るなら、４回目は１、で
１～３回目までの目の出方は６^3＝２１６通りで、この一つずつに対してでる目の出方は１通りに定まるので、２１６通りが正解！とありました。
そこで、私は自分で問題を変えて「さいころを４回なげて５の倍数になるのは何通りか？」というのを自分なりに解いてみました。
(1)１～３回目までの和が５の倍数のとき、４回目は５
(2)１～３回目までの和が５で割ると４余るなら、４回目は１
(3)１～３回目までの和が５で割ると３余るなら、４回目は２
(4)１～３回目までの和が５で割ると２余るなら、４回目は３
(5)１～３回目までの和が５で割ると１余るなら、４回目は４で、
(1)～(5)までは対等なので、(1)の１～３回目までの和が５の倍数になる場合が、（１，１，３）、（１，２，２）、（１，３，６）、（１，４，５）、（２，３，５）、（２，４，４）、（３，３，４）、（４，４，２）、（４，５，６）、（５，５，５）の１０通りあるので、
１０×５＝５０通りになるのかなって？思うのですが、これで合ってますでしょうか？
又、違う方法が有りましたら、教えてください。宜しくお願いします。

回答No.1

R_Earl · ベストアンサー

> (1)１～３回目までの和が５の倍数のとき、４回目は５
> (2)１～３回目までの和が５で割ると４余るなら、４回目は１
> (3)１～３回目までの和が５で割ると３余るなら、４回目は２
> (4)１～３回目までの和が５で割ると２余るなら、４回目は３
> (5)１～３回目までの和が５で割ると１余るなら、４回目は４で、

(2)が違います。
「4回目は1か6」です。

> １０×５＝５０通りになるのかなって？思うのですが、これで合ってますでしょうか？

この問題でも、1 ～ 3回目までのさいころの目の出方は6^3 = 216通りです。
もう一度、参考書の問題の解説の意味をよく考えてみてください。

> 又、違う方法が有りましたら、教えてください。宜しくお願いします。

1～3回目までの和が5で割ると4余る場合だけ、
「4回目に2種類の目が出ても良い」という風になっているので、
そこだけ特別に考えます。
「1～3回目までの和が5で割ると4余る場合」の「目の組み合わせ」は

(1, 1, 2)
(1, 2, 6)
(1, 3, 5)
(1, 4, 4)
(2, 2, 5)
(2, 3, 4)
(3, 3, 3)
(2, 6, 6)
(3, 5, 6)
(4, 4, 6)
(4, 5, 5)

となります。ここで目の出方の並び方を考えると、
目の出方は全部で43通りです
(例えば目の組み合わせが(1, 1, 2)となるケースは、
「1回目に1、2回目に1、3回目に2となるケース」、
「1回目に1、2回目に2、3回目に1となるケース」、
「1回目に2、2回目に1、3回目に1となるケース」の
3種類のケースが考えられます。
目の組み合わせが(3, 3, 3)となるケースは
「1回目に3、2回目に3、3回目に3となるケース」の
1種類しか考えられません)。

「1～3回目までの和が5で割ると4余る場合」以外のケースは全部で
216 - 43 = 173通りです。

「1～3回目までの和が5で割ると4余る場合」以外のケースは
「4回目に出て良い目の種類は1通り」ですが、
「1～3回目までの和が5で割ると4余る場合」に関しては
「4回目に出て良い目の種類は2通り」なので、
求める場合の数は

173 × 1 + 43 × 2 = 259通り

となります。

お礼

おもいっきり、納得です。自分が間違った答えが、あまにも単純な結果なので、間違っていることは、想定内でした。
どうも、場合の数は苦手で…
でも、とっても参考になる解答案を示して下さって有難う御座いました

回答No.2

kirigirios

５の倍数の方が６の倍数より出現頻度が高いはずです。
それなのに６の倍数２１６通りに対し、５の倍数５０通りというのは変だと思いませんか？
１１３と１３１、３１１は別々に数えましょう。

それから、３回目までの和が５で割ると４余るときだけ、４回目が２通り（１または６）あることが問題を難しくしていますね。

お礼

回答有難う御座いました。R_Eariさんにも指摘されましたが、３回目までの和が５で割ると４余るときだけ、例外的に考えて答えをだすって言うことがわかりました。また、
＞１１３と１３１、３１１は別々に数えましょう。
ですが、私のぼんミスでした。