1つのサイコロを10回投げるとき、3の倍数の目がn

質問

1つのサイコロを10回投げるとき、3の倍数の目がn回出るときの確率をPnとする。
( ただし n = 0,1,2,3,・・・・・・10 )
Pnが最大となるときのnの値を求めよ。

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という問題が解答を見ても全然分かりません。
詳しく説明出来る方、回答お願い致します。

回答No.6

atkh404185

１つのサイコロを10回投げるとき、3の倍数の目がn回出るときの確率をPnとする。
( ただし n = 0,1,2,3,・・・・・・10 )
Pnが最大となるときのnの値を求めよ。

という問題が解答を見ても全然分かりません。

先ほどの質問した問題（同じ人だと思いますが）と、この質問の問題は

同じ（タイプの）問題です。

先ほどの問題は、Ｐn と Ｐn+1 の関係式が与えられていたのに対して、

この問題は、自分で Ｐn を求めて、Ｐn と Ｐn+1 の関係式をつくる

との違いです。

関係式がつくれば、

(i)、(ii)、(iii)をそれぞれ解くことによって、不等式

　　Ｐ1＜・・・＜・・・＜・・・＜Ｐn＞・・・＞・・・＞・・・＞・・・

がつくれ、最大となる n が求まります。

ですが、

解答を見ても全然分かりません。

とのことなので、おそらく、

　　　Ｐn＝10Ｃn(1/3)^n(2/3)^10-n

がわからないのだと思います。

例えば、

１０回のうち６回３の倍数の目が出る確率を求めることを考えて下さい。

３の倍数の目が出る確率は　2/6＝1/3

３の倍数以外の目が出る確率は　4/6＝2/3

です。

ここで、

○：３の倍数の目が出る

×：３の倍数以外の目が出る

として、目の出方を考えます。

（ア）　○○○○○○××××
（イ）　○○○○○×○×××
（ウ）　○○×××○○×○○
（エ）　××○○○×○○×○
　　　・・・・・・・・・・

求める確率は、

（ア）の場合の確率+（イ）の場合の確率+（ウ）の場合の確率+・・・・・・・

と、１０回のうち６回３の倍数の目が出る場合の確率をすべて足せば求めることができます。

　　　　　　　　↑↑↑

　　　『すべて（の場合を）足す？』

これは、　数学が苦手な人にとっては「いやな」事かもしれませんが、

　　 　　数学が好きな人にとっては「うれしい」事かもしれませんね。

ポイントは、

（ア）の場合の確率　も

（イ）の場合の確率　も

（ウ）の場合の確率　も

　　・・・・・・・・・

すべて同じ確率

　(1/3)^6(2/3)^4 （どれも 1/3 を６回、2/3 を４回掛ける順番は違うが）

になります。

だから、確率は

(1/3)^6(2/3)^4+(1/3)^6(2/3)^4+(1/3)^6(2/3)^4+・・・・・・・

になるわけですが、

ここで、

2+2+2+2+2+2+2+2+2+2+2+2+2+2+2+2+2+2+2+2+2+2+2+2

のような、同じ値の足し算は、

掛け算に直して計算ができる ということです。

ちなみに、上の足し算は

2×24=48　（視力が悪いので見ずらいのですが２４個であってますか）

と計算できます。

ということは、

　　１０回のうち６回３の倍数の目が出る場合が何通り

あるかがわかれば、掛け算に直して確率を求めることができます。

これは、

○○○○○○××××

を一列に並べる場合の数だけあります。

だから、

ただし、「！」の記号を使うのではなく、「Ｃ」を使って、

10Ｃ6 通りですね。

ということで、

１０回のうち６回３の倍数の目が出る確率は

　　10Ｃ6(1/3)^6(2/3)^4

になります。

式の作り方は、

思いっきり《口ずさんで》　そして、式をつくって下さい。

《１０回のうち６回》　　これで　10Ｃ6　の部分の式が

《６回３の倍数の目が》　　これで　(1/3)^6　の部分の式が

そして、

次が、大事なことなのですが、（問題文には出ていないので）

《残り４回はそれ以外の目が》　　これで　　(2/3)^4　の部分の式が

つくれると思います。

【問題】１０回のうち７回３の倍数の目が出る確率を求めよ。

であれば、

《１０回のうち７回》　　これで　10Ｃ7　の部分の式が

《７回３の倍数の目が》　　これで　(1/3)^7　の部分の式が

そして、さらに、

《残り３回はそれ以外の目が》　　これで　　(2/3)^3　の部分の式が

つくれて、

求める確率は、

10Ｃ7(1/3)^7(2/3)^3

となり、あとはこれを計算すればよいのです。

この方法で、

１０回のうちｎ回３の倍数の目が出る確率は

《１０回のうちｎ回》　　これで　10Ｃn　の部分の式が

《ｎ回３の倍数の目が》　　これで　(1/3)^n　の部分の式が

そして、さらに、

《残り(10-n)回はそれ以外の目が》　　これで　　(2/3)^(10-n)　の部分の式が

つくれて、

　　Ｐn=10Ｃn(1/3)^n(2/3)^(10-n)

になります。

回答No.5

Willyt

３の倍数は３と６の二つです。
ですから、サイコロを一回振って３の倍数になる確率は１／３です。また、３の倍数にならない確率は２／３です。
次に３の倍数が１０回のうちｎ回でる確率は
f(n)=(1/3)^n(2/3)^(10-n)
となります。これをｎで微分してゼロとおけば極値が求められます。解答は整数ですが、上記から得られる答えは少数になります。従って正解はその少数を挟む二つの整数のうちのどちらかですから、これはその整数を上記に代入して比較するしかありませんね。これは御自分でどうぞ。

回答No.4

dahhhhhhhhhhhh

単純に手を抜いているだけでしょう。確率を求めるだけならば算数レベルですし。
数学の勉強を諦めるか、カンニングをやめるかですな。無駄な努力は割に合わない。

回答No.3

f272

#2です。
答えを出すだけならほとんど計算はいりません。
さいころを1回投げて3の倍数の目が出るのは3と6ですから，その確率は1/3です。ということは10回投げると3の倍数の目がでる回数としてもっともらしいのは10*1/3=約3回です。これがPnが最大となるときに決まっている。

回答No.2

f272

P(n)=10Cn*(1/3)^n*(2/3)^(10-n)...これがわからんなら教科書を読め
であるから
P(n+1)=10C(n+1)*(1/3)^(n+1)*(2/3)^(10-n-1)...上の式でnをn+1に変えただけ
P(n+1)/P(n)=(10-n)/(n+1)*(1/3)/(2/3)=(10-n)/(n+1)/2...割り算した
と計算できる。
P(1)/P(0)=10/1/2=5...それぞれn=0,1,...,10を代入した
P(2)/P(1)=9/2/2=9/4
P(3)/P(2)=8/3/2=4/3
P(4)/P(3)=7/4/2=7/8
P(5)/P(4)=6/5/2=3/5
P(6)/P(5)=5/6/2=5/12
P(7)/P(6)=4/7/2=2/7
P(8)/P(7)=3/8/2=3/16
P(9)/P(8)=2/9/2=1/9
P(10)/P(9)=1/10/2=1/20
となってP(n)はどれも負でないから
P(0)<P(1)<P(2)<P(3)>P(4)>P(5)>P(6)>P(7)>P(8)>P(9)>P(10)...比がわかったのだから大小関係もわかる
ということがわかる。

回答No.1

noname#232123

P(n)=combi(10, n)*(2/6)^n*(4/6)^(10-n)=combi(10, n)*2^(10-n)/3^10
ですから、
P(n+1)≧P(n) すなわち、P(n+1)/P(n)≧1 とすると、途中計算の記述を省略すると、
2(10-n)/(n+1)≧1, 分母を払い、2(10-n)≧n+1 ⇔ 19/3≧n.
すなわち、n=0 ~ 6 のとき、条件をみたし、
P(10)<P(9)<P(8)<P(7)>P(6)>P(5)>P(4)>P(3)>P(2)>P(1)>P(0)
のようになっていますから、P(7)がMaxです。
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１１個すべてを計算してみなくてもこのようにすると、最大となるｎを求められます。