ベクトル

質問

数学Bベクトルの応用問題です。
正四面体ABCDにおいて、ベクトルAB⊥ベクトルCDであることを示すにはどうしたらいいですか？
考え方としては、位置ベクトルっていうのとABCDが正四面体であることを用いるみたいですが、全く解らないです。
考え方をできればわかりやすくお願いします。

※ちなみに、正四面体がわからない人のために。
正三角形を4つ使って構成できる立体です。

回答No.4

arrysthmia

考え方：
辺CD の中点を M と置き、面ABM で四面体ABCD を分割する。
正四面体の対称性から、分割された２立体が合同であることが
サクッと言えるから、辺CM ∥ 辺DM ⊥ 面ABM が出る。

回答No.3

Tacosan

立方体の頂点を 1つおきにとると正四面体ができます. だから
「ABCD は正四面体なので, 適当な座標系により A(-1, -1, -1), B(-1, 1, 1), C(1, -1, 1), D(1, 1, -1) とおける」
と始めるのがよいと思う＞#2.

回答No.2

piro19820122

まず正三角形ＡＢＣをｘｙ平面上に描きます。
点Ａが原点、辺ＡＢがｘ軸上に来るようにするとわかりやすいでしょう。

１辺の長さを a とすれば、
点Ａは (0, 0, 0)
点Ｂは (a, 0, 0)
ですね。

正三角形の１つの頂点の角度は 60度ですから、
点Ｃは (a cos60°, a sin60°, 0) で表せます。

点Ｄの座標を (x, y, z) とおいて、
AD = BD = CD = a
という条件から x, y, z を求めます。

最後に
AB = (a, 0, 0)
CD = (a cos60° - x, a sin60°- y, -z)
の内積を求めます。

これが０となれば直交であることが言えます。

回答No.1

info22

問題だけ書いて丸投げ質問することは禁止事項です（削除対象）。
自分で問題を解くつもりで、分かる所まで解答を作って補足に書いて下さい。
そのあと、行き詰っている所だけ補足質問できいて下さい。

回答者は問題を解決するためのアドバイスをするだけですので、解答は自分で作るようにして、解答の途中経過を補足に書いて質問して下さい。

考え方）
位置ベクトルを↑A=a,↑B=b,↑C=c,↑D=dとおくと,
↑AB=a-b,↑CD=d-cと表せますから、内積
(a-b)・(d-c)=0
を示すだけです。

行き詰ったら、そこまでの解答のプロセスを補足に書いたうえで、質問して下さい。