ベクトル

質問

ベクトルの問題で、正六角形ＡＢＣＤＥＦにおいて、ベクトルＡＢ=ベクトルａ、ベクトルＢＣ=ベクトルｂとするとき、次のベクトルをベクトルａ、ベクトルｂを用いて表せ。

(１)ベクトルＣＤ
の求め方が理解できません詳しく教えて下さい。

回答No.3

noname#224896 · ベストアンサー

解説の為，大幅に前回の回答を利用しています．
よって，大量の回答に見えますが，実質的には少ないです．
その点をご容赦下さい．
====================================================

＞別解で、なんで↑ＢＣと↑ＢＯが等しいのですか。
※『どこかを起点にした位置ベクトルを求めよ．』ではなく，
★【決められたベクトルで表せ．】
という問題だからです．

例えば，↑ＡＢと等しいベクトルは，
↑ＡＢ＝↑ＥＤ＝↑ＦＯ＝↑ＯＣ
となるのです．どれを答えても正解なのです．
ただ，問題で，↑ＡＢ＝↑aを用いて表せとなると，
↑ＥＤ＝↑a
↑ＦＯ＝↑a
↑ＯＣ＝↑a
となるのです．

だから，↑ＢＣ＝↑ＢＯ＝↑ＡＯ＝↑ＦＥとなります．
====================================================

正六角形ＡＢＣＤＥＦの中心を点Ｏとする．

求めるのはベクトルＣＤである．
↑ＢＯ
＝↑ＢＡ＋↑ＢＣ
＝－↑a＋↑ｂ

↑ＢＤ＝↑ＢＯ＋↑ＢＣ
　　　　＝－↑a＋↑ｂ＋↑ｂ
　　　　＝－↑a＋２↑ｂ

↑ＣＤ＝↑ＢＤ－↑ＢＣ
　　　　＝－↑a＋２↑ｂ－↑ｂ
　　　　＝－↑a＋↑ｂ　．．．（解答）
====================================================
＞あと、図々しいお願いですが、 -↑ａ+↑ｂの後の式も教えて下さい。
＞答えは↑ｂ-↑ａと解説に有るのですが、
＞どのようにして、解を出したのか分からないので、お願い致します。
思考過程として，
最初に，求める↑ＣＤについて，
↑ＣＤ＝↑ＢＤ－↑ＢＣを考えたのです．
ところが，↑ＢＣ＝↑ｂはいいとして，
↑ＢＤは↑aと↑ｂで表せていないなぁと考えて，
↑ＢＤは↑aと↑ｂで表してから，

↑ＣＤ＝↑ＢＤ－↑ＢＣとなることが前もって解っていて，
それを最初に書いているから，不思議に感じたのでしょう．

↑ＣＤ＝↑ＢＤ－↑ＢＣの式を書いてから，
↑ＢＤは↑aと↑ｂで表し，それを上の式に代入しても良いのです．

どちらでも構いません．
つまり，以下の解法でも意味は同じで全く問題ないのです．
----------------------------------------------------

↑ＣＤ＝↑ＢＤ－↑ＢＣ
と表せる．

ここで，↑ＢＤについて考えると，
↑ＢＤ＝↑ＢＯ＋↑ＢＣ
と表せる．
次に，↑ＢＯについて考えると，
↑ＢＯ＝↑ＢＡ＋↑ＢＣ
　　　　＝－↑a＋↑ｂ
よって，
↑ＢＤ＝↑ＢＯ＋↑ＢＣ
　　　　＝－↑a＋↑ｂ＋↑ｂ
　　　　＝－↑a＋２↑ｂ
従って，
↑ＣＤ＝↑ＢＤ－↑ＢＣ
　　　　＝－↑a＋２↑ｂ－↑ｂ
　　　　＝－↑a＋↑ｂ　．．．（解答）
====================================================

＞最後に、同じ問題の今度は、 ↑ＦＢについて何ですが、
＞↑ＡＦ=↑ＣＤ
＞　　 =↑ｂ-↑ａ
＞↑ＦＢ=↑ａ-(↑ｂ-↑ａ)の↑ａって何ですか。

↑ＦＢ=↑ＦＯ-↑ＦＡ
　　　＝↑ＦＯ-↑ＦＡ
　　　＝↑ａ-(↑ｂ-↑ａ)

∵↑ＦＡ＝↑ＯＢ＝－（↑ＢＡ＋↑ＢＣ）＝（-↑ａ＋↑ｂ）＝(↑ｂ-↑ａ)
　 ↑ＦＯ＝↑ＡＢ＝↑ａ
最初に説明した通り，
『どこかを起点にした位置ベクトルを求めよ』ではなく，
唯【単に，決められたベクトルで表せ】
という問題なので，
↑ＦＯ＝↑ＡＢ＝↑ａより，
ここでの↑ａは，上の式での↑ＦＯ＝↑ＡＢを表しています．
====================================================
以上です．

お礼

完璧な解説と回答、有り難う御座いました。

回答No.2

Tacosan

とりあえず #1 にあるように正六角形ABCDEF とその中心 O を図にして, あと O から各頂点に線を引いて「どのベクトルとどのベクトルが同じなのか」をひたすら書き込んでいったら?

お礼

回答、有り難う御座いました。

回答No.1

noname#224896

正六角形ＡＢＣＤＥＦの中心を点Ｏとする．

求めるのはベクトルＣＤである．
↑ＢＯ
＝↑ＢＡ＋↑ＢＣ
＝－↑a＋↑ｂ

↑ＢＤ＝↑ＢＯ＋↑ＢＣ
　　　　＝－↑a＋↑ｂ＋↑ｂ
　　　　＝－↑a＋２↑ｂ

↑ＣＤ＝↑ＢＤ－↑ＢＣ
　　　　＝－↑a＋２↑ｂ－↑ｂ
　　　　＝－↑a＋↑ｂ　．．．（解答）
++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++
以上です．
こんなことしなくても，最初から，
【別解】
↑ＢＣ＝↑ＢＯ
　　　　＝－↑a＋↑ｂ　．．．（解答）
と出来たのですけどね．
++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++

お礼

なんとか理解できました。有り難う御座いました。

補足

回答、有り難う御座いました。
あの～申し訳無いのですが、幾つか回答して頂いた部分で分からない箇所があるので教えて下さい。
別解で、なんで↑ＢＣと↑ＢＯが等しいのですか。

あと、図々しいお願いですが、 -↑ａ+↑ｂの後の式も教えて下さい。答えは↑ｂ-↑ａと解説に有るのですが、どのようにして、解を出したのか分からないので、お願い致します。

最後に、同じ問題の今度は、　 ↑ＦＢについて何ですが、　　↑ＡＦ=↑ＣＤ
　　 =↑ｂ-↑ａ
↑ＦＢ=↑ａ-(↑ｂ-↑ａ)の↑ａって何ですか。